tailieunhanh - Ebook Tuyển chọn 400 bài tập Đại số và Giải tích 11 (tự luận và trắc nghiệm): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Tuyển chọn 400 bài tập Đại số và Giải tích 11 (tự luận và trắc nghiệm)" giới thiệu tới người đọc các nội dung: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân, giới hạn, đạo hàm. . | Chương 3. DÃY số - CẤP số CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A TÓM TẮT Ú THUYẾT Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n e N là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta có thể lùng phương pháp quy nạp toán học gọi tắt là phương pháp quy nạp như sau Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1. Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k 1 gọi là giả thiết quy nạp . Chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1. Khi đó ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n e N . B BÀI TOÁN Đế 166 Chứng minh rằng 1 2 3 . n n n 1 với n 6 N 2 Hướng dẫn giải Khi n 1 VT 1 VP 2 Do đó VT VP. Nghĩa là mệnh đề đúng với n 1. Giả sử mệnh đề đúng với n k 1. Nghĩa là 1 . Q . Q . U _ k k l . 1 2 3 . k 1 2 102 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n k 1 tức là i 2 3 . k k l fciAM 2 Thật vậy kík 1 1 1 2 3 . k k 1 - -- k l k k 1 2 k 1 2 _ k l k 2 2 k l k l l 2 Nghĩa là 2 đúng Vậy với mọi n è N ta đều có 1 .. n n 4-1 1 2 3 . n 2 Để 167 Chứng minh rằng 1 3 5 . 2n - 1 n2 với n e N Hướng dẫn giải Kh n 1 VT 1 VP l2 1 Do ỉó VT VP. Nghĩa là mệnh đề đúng với n 1 sử mệnh đề đúng với n k 1. Nghĩa là 1 3 5 . 2k- 1 k2. 1 Tí phải chứng minh mệnh đề đúng với n k 1 tức là 1 3 5 . 2k - 1 2 k 1 - 1 k l 2 2 Tlật vậy 1 1 3 5 . 2k - 1 2 k 1 - 1 k2 2 k 1 - 1 k2 2k 1 k l 2 Njhla là 2 đúng. Viy với mọi ne N ta đều có 1 3 5 . 2n - 1 n2 103 Để 168 Chứng minh rằng với ne N thì n3 lln chia hết cho Hướng dẫn giải Đặt An n3 iln. Khi n 1 Al l3 12. Vậy A1 chia hết cho 6. Giả sử Ak k3 llk chia hết cho 6. Ta phải chứng minh Ak 1 k 1 3 1 l k l cũng chia hết cho 6. Thật vậy Ak 1 k l 3 1 l k 1 k3 3k2 3k 1 llk 11 k3 llk 3k k 1 12 Ak 3k k 1 12 Vì Ak ỉ 6 3k k 1 ỉ 6 và 12 ỉ 6 nên Ak 1 6. Vậy An n3 lln chia hết cho 6 với mọi n e N c BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Đề 169 Chứng minh rằng với n G N ta có i2 . o2 2 . _2 _ n n l 2n 1 a 1 2 3