tailieunhanh - Chuyên đề: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 để giải quyết một số bài toán về dãy số - Trường THPT chuyên Hưng Yên

Chuyên đề: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 để giải quyết một số bài toán về dãy số cung cấp cho các bạn những kiến thức về tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2; áp dụng việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 trong một số bài toán về dãy số.  | http Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT Đó là các dãy số thực có dạng un 2 aun 1 bun với mọi n 0 trong đó a và b là các hằng số thực. Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau Xét phương trình ẩn t sau đây t2 at b 0 được gọi là phương trình đặc trưng của . Phương trình có biệt thức A a2 4b. Trường hợp 1 A a2 4b 0 khi đó có hai nghiệm thực phân biệt t1 t2. Số hạng tổng quát của có dạng un với mọi n 0 và x y là hai số thực tuỳ ý x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 và u1. Trường hợp 2 A a2 4b 0 khi đó có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của có dạng un 1 với mọi n 0 ở đây ta qui ước 0 1 0 và x y là hai số thực tuỳ ý x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u 0 và u1 . Trường hợp 3 A a2 4b 0 có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau 7 2 a iv -A Bước 1 Giải phương trình t at b 0 và nhận được nghịêm phức z -----. Bước2 Đặt r z là module của z còn ọ Argz ta nhận được un rn p cos nọ q sin nọ với mọi p q là các số thực. Bước 3 Xác định p q theo các giá trị cho trước u0 u1. Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1 A 0 có hai nghiệm phân biệt t1 t2 khi đó theo định lí Vi-et ta có b t9 a . Khi đó t1t2 b un 1 t1 t2 un t1t2un 1 un 1 t1Un t2 un hu. 1 K-1 w 2 . 1-U . Như vậy un 1 t1un t2n u1 t1u0 1 Tương tự un 1 t2un t1n u1 t2u0 2 . Trừ từng vế 2 cho 1 ta có http Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia - t2 un u1 - t2u0 t1n - u1 - t1u0 t2n. Do t1 12 nên _ u1 - t2u0 n u1 - t1u0 n t-1 t2 . t1 - t2 t1 - t2 Vậy un có dạng un với x y là hai số thực. a2 a Trường hợp 2 A 0 khi đó b 4 có nghiệm .