tailieunhanh - Đề thi Olympic toán 2013

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề thi olympic toán 2013', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013 Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013 được tổ chức bởi Câu lạc bộ Toán học từ ngày 29 07 đến ngày 04 08 2012. Khói 10 Bài 1. Cho dãy số nguyên dương ara thỏa mãn điều kiện m n chia hết cho am an với mọi m n nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của a2012. Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Gọi UV là một dây cung của O . Giả sử UV cắt AB AC lần lượt tại Q và P. Gọi M N J R theo thứ tự là trung điểm BP CQ PQ và UV. Chứng minh rằng R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi x y z 0 ta có 3x 4y 16. VV 15 y z V 3x y Bài 4. Hỏi có thể phủ bàn cờ 8 X 8 bằng 9 hình vuông 2 X 2 và 7 hình chữ Z được hay không Giải thích rõ câu trả lời. Hình chữ z Hình vuông 2x2 Hình 1 Khói 11 Bài 1. Cho a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 111 1 7 111 1 V a2 V c2 a b c 2 25 a b c Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn ABC BCD 1800. Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng ta có ABC ADC khi và chỉ khi AC2 Bài 3. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 2011 chữ số có dạng thỏa mãn điều kiện ai i mod 2 với mọi i 1 2 3. 2011. Tính số tất cả các cặp số x y với x y 2 Z x y sao cho x y chia hết cho 52011. Bài 4. Trong chương trình Gặp gỡ Toán học lần IV có tổng cộng 673 tựa sách và quyết định tổ chức đăng ký mua sách cho các thành viên tham gia. Sau khi thu phiếu đăng ký ban tổ chức phát hiện các điều thú vị sau 1. Tất cả các bạn đều đăng ký mua đúng ba tựa sách. 2. Hai bạn bất kì đăng ký mua giống nhau ít nhất một tựa sách. 3. Không có tựa sách nào được tất cả các thành viên đăng ký mua. 4. Không có ba bạn nào mua ba tựa sách giống nhau. Chứng minh rằng ở kỳ Gặp gỡ Toán học lần này có nhiều nhất 2011 bạn tham gia giao lưu và học tập. 1 Khối 12 Bài 1. Giải hệ phương trình sau trẽn tập số thực 2x y3 y2 2 2y z3 - z2 2 2z x3 x2 2 Bài 2. Cho hai đường tròn O và O0 có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm phân biệt A