tailieunhanh - Đề chọn đội tuyển VN thi Olympic toán 2012

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề chọn đội tuyển vn thi olympic toán 2012', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Vietnam Team Selection Test 2012 Thi chọn đôi tuyển Việt Nam tham dự kì thi Olympic Toán quốc tế năm 2012 Bài 1. 7 0 điểm Cho đường tròn O và 2 điểm cố định B C trên đường tròn sao cho BC không là đường kính của O A là một điểm di động trên đường tròn A không trùng với B C. Gọi D K J lần lượt là trung điểm của BC CA AB và E M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A B C trên BC DJ DK. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại T cố định khi A thay đổi. Bài 2. 7 0 điểm Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước m X n ô vuông gồm m hàng và n cột người ta đặt một số máy bìm nước vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bìm nước có thể tưới nước cho các ô vuông có chung cạnh với nó và các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông. Tìm số nhỏ nhất các máy bìm nước sao cho các máy bìm nước có thể tưới hết cả cánh đồng trong 2 trường hợp a m 4 b m 3. Bài 3. 7 0 điểm Cho số nguyên tố p 17. Chứng minh rằng t 3 là số nguyên dưìng lớn nhất thỏa mãn điếu kiện Với các số nguyên bất kì a b c d sao cho abc không chia hết cho p và a b c chia hết cho p thì tồn tại các số nguyên p x y z thuộc tập 0 1 . 1g sao cho ax by cz . Bài 4. 7 0 điểm Cho dãy số xn xác định bởi x1 1 x2 2011 xn 2 4022xn 1 xn 8n 2 N. Chứng minh rằng X220 12 1 là số chính phưìng. Bài 5. 7 0 điểm Chứng minh rằng c 10 24 là hằng số lớn nhất thỏa mãn điếu kiện nếu có các số dưìng a1 a2 .a17 sao cho Xa2 24 X a3 X ai c i 1 i 1 i 1 thì với mọi i j k thỏa mãn 1 i j k 17 ta luôn có ai aj ak là độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài 6. 7 0 điểm Có 42 học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Olympic toán 1 quốc tế. Biết rằng một học sinh bất kì quen đúng 20 học sinh khác. Chứng minh rằng ta có thể chia 42 học sinh thành 2 nhóm hoặc 21 nhóm sao cho số học sinh trong các nhóm bằng nhau và 2 học sinh bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau.