tailieunhanh - Đề thi toán Quốc tế 2007

2 Consider ve points A, B , C , D and E such that ABC D is a parallelogram and BC E D is a cyclic quadrilateral. Let ` be a line passing through A. Suppose that ` intersects the interior of the segment DC at F and intersects line BC at G. Suppose also that E F = E G = E C . Prove that ` is the bisector of angle DAB . 3 In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them. | IMO 2007 Ha Noi Vietnam Day 1 - 25 July 2007 T Real numbers 1 tt2 . an are given. For each 3 1 i n define di max ữỹ I 1 j 0 min ữỹ I i j n and let d max I 1 i n . a Prove that for any real numbers X x 2 xn max xi CLi I 1 i n Ệ-. b Show that there are real numbers Xi X2 xn such that the equality holds in . 2 Consider five points A B ơ D and E such that ABCD is a parallelogram and BCED is a cyclic quadrilateral. Let f be a line passing through A. Suppose that Ể. intersects the interior of the segment DC at F and intersects line BC at G. Suppose also that EF EG EC. Prove that -Ể is the bisector of angle DAB. -3 In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. In particular any group of fewer than two competitiors is a clique. The number of members of a clique is called its size. Given that in this competition the largest size of a clique is even prove that the competitors can be arranged into two rooms such that the largest size of a clique contained in one room is the same as the largest size of a clique contained in the other room. This file was downloaded from the AoPS MathLinks Math Olympiad Resources Page http Page 1 http MathLinks Everyone IMO 2007 Ha Noi Vietnam Day 2 - 26 July 2007 ỊTỊ In triangle ABC the bisector of angle BCA intersects the circumcircle again at R the perpendicular bisector of BC at p and the perpendicular bisector of AC at Q. The midpoint of BC is K and the midpoint of AC is L. Prove that the triangles RPK and RQL have the same area. 5 Let a and b be positive integers. Show that if 4ab 1 divides 4tt2 I 2 then a b. 6 Let n be a positive integer. Consider s x y z I X ý z e 0 1 . n X y z 0 as a set of n I 3 1 points in the three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes the union of which contains s but does not include 0 0 0 . This file was downloaded from the AoPS

• Đề thi - Kiểm tra
• đề thi toán quốc tế
• ôn thi đại học cao đẳng
• tài liệu ôn tập môn toán
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi Thanh toán quốc tế
• Thanh toán quốc tế
• Đề thi môn Thanh toán quốc tế
• Ôn tập Thanh toán quốc tế
• Bài tập Thanh toán quốc tế
• Đề thi Toán khu vực Châu Á
• Đề thi Toán khu vực Thái Bình Dương
• Đề thi Toán quốc tế 2009
• Đề thi Toán
• Ôn thi Toán quốc tế
• Câu hỏi Thanh toán quốc tế
• Ôn thi Thanh toán quốc tế
• Tài liệu Thanh toán quốc tế
• Thực hành thanh toán quốc tế
• Bài tập thực hành thanh toán quốc tế
• Đề thực hành thanh toán quốc tế 2014
• Câu hỏi ôn thanh toán quốc tế
• Lý thuyết thanh toán quốc tế
• Trắc nghiệm thanh toán quốc tế
• Câu hỏi ôn tập thanh toán quốc tế
• Đáp số toán học quốc tế
• Toán học quốc tế
• Đề thi toán học quốc tế
• Đề toán học trẻ quốc tế
• Toán quốc tế CIMC 2015
• Toán quốc tế
• phương thức thanh toán quốc tế
• Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam
• Kì thi Toán Quốc tế Imo
• Ôn thi Toán Quốc tế Imo năm 2016
• Toán Quốc tế Imo năm 2016
• Chọn đội tuyển thi Toán Quốc tế Imo
• Đề cương thanh toán quốc tế
• bài giảng thanh toán quốc tế
• chứng từ thanh toán quốc tế
• Đề thi sau đại học Toán kinh tế
• Bài thi Toán kinh tế
• Câu hỏi thi Toán kinh tế
• Luyện thi Toán kinh tế
• Nội dung thi Toán kinh tế
• hoạt động cho vay
• Các kì thi Toán quốc tế
• Toán quốc tế Kangaroo
• International Kangaroo Mathematic Contest
• olympic toán quốc tế
• các bài toán hay
• ôn luyện toán quốc tế
• Mua bán ngoại thương
• Đề cương ôn thi Thanh toán quốc tế
• Bài tập ngân hàng
• Tài chính ngân hàng
• Nghiệp vụ thanh toán quốc tế
• International Mathematical Olympiad
• Đáp án IMO 2008
• Kỳ thi Toán quốc tế
• Đáp án đề thi Toán quốc tế
• Đáp án đề thi Olympiad Toán quốc tế
• Đáp án đề thi Toán quốc tế 2008