tailieunhanh - Chương I: Tính liên tục của hàm số

Tài liệu tổng hợp bài tập từ cơ bản đến nâng cao về hàm số và tính liên tục của hàm sô. Giúp các bạn học sinh có tài liệu bổ ích để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp và đại học sắp tới. | Chương I TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số Bài . Cho f là một hàm liên tục trên R sao cho f f x x với mọi x 2 R. a Chứng minh rằng phương trình f x x luôn luôn có nghiệm. b Hãy tìm một hàm thoả mãn điều kiện trên nhưng không đổng nhất bằng x trên R. Hướng dẫn a Giả sử phương trình f x x vô nghiệm trên R tức là f x x với mọi x 2 R. Vì hàm f liên tục nên ta suy ra f không đổi dấu trên R. Không mất tổng quát giả sử f x x với mọi x 2 R. Khi đó f f x f x x. Điều này mẫu thuẫn với giả thiết. Vậy phương trình f x x luôn có nghiệm. b Dễ thấy hàm f x 1 x thoả mãn điều kiện f f x x và không đổng nhất bằng x. Bài . Cho f a b a b là một hàm liên tục sao cho f a a f b b và f f x x với mọi x 2 a b . Chứng minh rằng f x x với mọi x 2 a b . Hướng dẫn Từ giả thiết f f x x ta dễ dàng suy ra f là đơn ánh. Kết hợp với tính liên tục ta kết luận được f là một hàm đơn điệu. Hơn nữa do f a a b f b nên f đơn điệu tăng trên a b . Nếu tổn tại xo 2 a b sao cho f xo xo hay f xo xo thì f f xo f xo xo hay f f xo f xo xo. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy f x x với mọi x 2 a b . Bài . Cho f là một hàm liên tục trên R thoả mãn f f f x x với mọi x 2 R. a Chứng minh rằng f x x trên R. Hãy tìm bài toán tổng quát hơn. b Tìm một hàm f xác định trên R thoả mãn f f f x x nhưng f x không đổng nhất bằng x. Hướng dẫn a Từ giả thiết suy ra hàm f đơn điệu ngặt trên R. Nếu f giảm ngặt trên R thì f2 tăng ngặt trên R. Do đó f3 lại giảm ngặt trên R. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f f f x x. Bây giờ giả sử f tăng ngặt trên R. Nếu tổn tại xo 2 R sao cho f xo xo thì ta suy ra f f xo f xo xo và f f f xo f xo xo. Điều này mâu thuẫn. Tương tự ta cũng có được điều mâu thuẫn nếu f xo xo. Vậy f x x với mọi x 2 R. Bài toán tổng quát Cho f liên tục trên R và thoả mãn f 2n 1 x x với mọi x 2 R. Chứng minh rằng f x x trên R. x nếu x 2 1 2 3 2 nếu x 1 b f x O 229 3 nếu x 2 1 nếu x 3. Bài . Cho f là một hàm liên tục và đơn ánh trên a b . Chứng minh rằng f là một hàm đơn điệu ngặt trên a b . Hướng dẫn Giả sử f không phải