tailieunhanh - MA TRẬN LUỸ LINH

Khái niệm ma trận trong Đại số tuyến tính được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của hầu hết các trường Đại học. Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt nam trong các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Nhằm giúp Sinh viên chuẩn bị tham gia vào các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên vòng trường và vòng quốc gia, chúng tôi giới thiệu một dạng ma trận và những tính chất của nó để các bạn sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập | MA TRẬN LUỸ LINH Khái niệm ma trận trong Đại số tuyến tính được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của hầu hết các trường Đại học. Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt nam trong các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Nhằm giúp Sinh viên chuẩn bị tham gia vào các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên vòng trường và vòng quốc gia chúng tôi giới thiệu một dạng ma trận và những tính chất của nó để các bạn sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập. nghĩa và tính chất 1. Đinh nghĩa Cho A là ma trận vuông cấp n A được gọi là ma trận luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dương q sao cho Aq 0. Nhận xét Nếu Aq 0 thì ta cũng có Am 0 với mọi số tự nhiên m thoả m q. Số nguyên dương k được gọi là cấp luỹ linh của ma trận A nếu Ak 0 và Ak-1 0. Ma trận A được gọi là ma trận luỹ linh đơn nếu A - E là ma trận luỹ linh E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A . 2. Môt số tính chất 1. Nếu A là ma trận luỹ linh thì A là ma trận suy biến. Chứng minh Thật vậy A là ma trận luỹ linh nên tồn tại số nguyên dương q sao cho Aq 0. Ta có DetAq det0 0 suy ra deịịA eị 0 detA q 0 q detA 0 đpcm . 2. Nếu A là ma trận luỹ linh thì các ma trận E - A và E A khả nghịch. Chứng minh Giả sử Ak 0 k 1 ta có E E - Ak E - A E A A2 . Ak-1 . Như vậy E - A khả nghịch và E - A -1 E A A2 . A11 . Tương tự ta cũng có E A khả nghịch vì E E A 2k 1 E A E - A A2 - . A2k . Khi đó E A -1 E - A A2 - . A2k . 3. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB BA. Khi đó nếu A và B là các ma trận luỹ linh thì A B cũng là ma trận luỹ linh. Chứng minh Do A và B là các ma trận luỹ linh nên tồn tại các số nguyên dương p q sao cho Ap 0 Bq 0 giả sử p q đặt m 2p. Theo giả thiết AB BA nên ta có khai triển nhị thức Newton m A B 2m ớmAiBn i trong 2 số i và m-i có ít nhất 1 số không nhỏ hơn p nên Ai Bm-i 0. Niậy A B 2m 0. đpcm . 1 4. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB BA. Khi đó nếu A và B là các ma trận luỹ linh đơn thì ma trận tích AB cũng là ma trận luỹ linh đơn. Chứng minh Vì A - E B - E