tailieunhanh - Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 vòng chung khảo

Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong quá trình học tập, ôn thi kiểm tra: Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A*|, trong đó A* là ma trận phù hợp của A. | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc --------------- ---------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 Vòng chung khảo Thời gian làm bài 150 phút Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và A 2010. Tính A trong đó A là ma trận phù hợp của A. Câu 2. Tìm giới hạn sau lim x o sin2x tan 2 3x 1 2 sin cosx Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất A 2 1 3 I m 4 1 13 5 2 1 m2 1 3 0 3 Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau f x ịe x2 khi X 0 ío khi X 0 tại điểm x 0. Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính r 2x 3 2 2 3 4 4 5 6 3x 2 2 x3 4 3 5 7 4x 5 2 3 3 2 4 5 5 11 2x 2 2 v3 4 2 5 3 2x 2 2 3 2 5 5 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc --------------- ---------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Vòng chung khảo Thời gian làm bài 150 phút Câu 1. Có tồn tại ma trận A thỏa mãn 2012 2010 2011 V2012 0 hay không Tại sao Câu 2. Tính giới hạn sau arctan2 X X2 sinx3 lim-------------- -------- x o cosx e2x Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong không gian Rn Xi 1 x2 1 . xn n . 2 1 Câu 4. Cho f x là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng 2012 2012 biết rằng 0 0 0 1 và f x 0 Vxe R. Câu 5. Giải hệ phương trình sau 3x1 x2 2 3 3 4 1 Xỵ 3 2 2 x2 2 4 1 2xr 4x2 x3 3 4 3 x2 x3 2x4 0 HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 - 2011 Câu 1. Do A 2010 0 nên A khả nghịch. Ta có A-1 A A 2010. A-1 A 20102011. 1 Mà E suy ra A . A-1 1 suy ra A-1 1 A 1 2010 Suy ra A 20102010. Câu 2. Do sin2x tanx2 x2 khi x 0 1 - cosx 2sin2 x 2 x2 2 khi x 0 nen sin2x tan 2 3x 3x lim . ---- lim7T- A 1 2sin cosx A - 2sinx Câu 3. Biến đổi ma trận A 3 2 A 2 1 3 1 1 1 3 2 1 m 4 1 3 I I 3 4 1 m I 0 1 -1 3 5 0 I I 0 3 5 1 I 0 2 1 m2 3 3 1m2 2 0 1 1 0 0 3 10 -25 m2 49 m 17 28 A 3m I 4mJ Do 12 3 25 0 suy ra r A 3 Dễ thấy với m 17 3 thì r A 4. Với m 17 3 ta thấy r 3 - 49 28-4m 17-3m m m 7 _ -2 V61 3 m 3 _ 1 . 1 . e X2 Câu 4. Xét .