tailieunhanh - ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 CỦA ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI

Bài 1. Cho P(x) là đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện ∫10xkP(x)dx=0,k=1,2, ,n. Chứng minh rằng ∫10(P(x))2dx=(n+1)2(∫10P(x)dx)2 Bài 2. Cho hàm số f khả vi liên tục trên đoạn [0,1] sao cho f(0)=0,f(1)=1 và ∣∣f′(x)∣∣≤2 với mọi x∈[0,1]. Chứng minh rằng ∫10f(x)dx18 Bài 3. Cho dãy số thực {an} thỏa mãn điều kiện limn→∞(2an+1−an)=2012 Chứng minh rằng dãy số {an} hội tụ. | ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 của ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ nhiên hà Nội Ngày thi 04 03 2012. Thời gian làm bài 180 phút MÔN GIẢI TÍCH Bài 1. Cho P x là đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện 10XkP x dx 0 k 1 2 . . n. Chứng minh rằng J10 P x 2dx n 1 2 f 10P x dx 2 Bài 2. Cho hàm số f khả vi liên tục trên đoạn 0 1 sao cho f 0 0f 1 1 và f x 2 với mọi xe 0 1 . Chứng minh rằng .Í1ọfx đx 18 Bài 3. Cho dãy số thực an thỏa mãn điều kiện llllln 2an - an 20 12 Chứng minh rằng dãy số an hội tụ. Bài 4. Cho hai hàm số f và g xác định và liên tục trên đoạn 0 1 . Giả sử có tồn tại dãy số xn trong đoạn 0 1 sao cho f xn g xn 1 với mọi neN. Chứng minh rằng tồn tại một điểm ae 0 1 sao cho fiò g à . Bài 5. Tìm một hàm số f khả vi liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện sau 1. f Q cQ với Q là tập các số hữu tỉ 2. fR Q cR Q 3. f không là hàm .