tailieunhanh - Đề thi OLYMPIC Toán sinh viên lần thứ XIV(2011)Môn đại số

Đây là đề thi toán olympic giúp các bạn sinh viên tham khảo để thử sức trình độ giải toán của mình củng như là một tài liệu quan trọng giúp các bạn rèn luyện kỹ năng phát huy môn học toán nói chung, và niềm đam mê toán học của mình nói riêng. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LAN THỨ XIV 2011 Môn ĐẠI số Câu 1. Chứng minh rằng hệ eẠ . w j- độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số dương. Câu 2. Cho dãy số . . y - . thỏa mãn .Ọ yQZZ ZQ và J iXZ - 4x zn ht - l ỉí - . i - n-Ị-l ỉỉ -Z-n Tính ítson- Câu 3. Cho hai ma trận A và B cùng cạp n và ma trận . AB BA giao hoán với cả hai ma trận A và B. Chứng minh rằng tồn tạí số nguyền dương m sao cho Cm 0. Câu 4. Cho đa thức Pýr có bậc n và có n Iiglìiẹm thực có thể phân biỊt hoặc bội . Tìm điều kiện cần và đủ của ụ và f để đa thức sau cũng có n nghiệm thực P x uP x vP xỴ Câu 5. Có hai bạn A và. B chơi một trò chơi như sau Trên một bảng O vuông n X n Ạ điền vẵo ô ớ vị trí i j một số nguyên dương nào đó. Bạn B có thể giữ nguyễn số đó hoặc tang giảm so đó 1 đơn vị. B khẳng định tằng có thể làm cho mạ trận nhận được khả nghịch và không có điểm bất động tức là tồn tại vector V sao cho Av v . Hỏi B nhận định đúng hay sai Vì sao Câu 6. a Tìm điều kiặn đễ hệ. sau có nghiệm duy nhất 1 a x4 1 a2 x2 1 a3 x3 1 a4 x4 0 _ 1 b x4 1 b2 x2 1 b3 x3 1 b4 x4 0 1 c a i 1 c2 x2 1 c3 x3 1 c4 x4 0 1 d x4 1 d2 x2 1 d3 x3 1 d4 x4 0 b Cho ma trận A 1 -1 1 1 Tính A2012. Ể 1 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LAN THỨ XIV 2011 Môn GIẢI TÍCH Câu 1. Cho hàm số fa-piyi i Chứng minh PT f x X Gổ nghiệm duy nhất trên 1 1 và hàm fix đồng biến. ii Chứng minh dãy vói 1 f un có Gấc phần tử đều thuộc đoạn 1 1 Câu 2. Tính tích phân 1 . í dx 7 1 X X2 v v4 3x2 1 Câu 3. Cho hai dãy số tfo thỏa mãn ỳn 1 mọi số tự nhiên n. i Chứng minh rằng các dãy xn ým tạng. ii Nếu cho trước hai dãy . . yn bị chặn. Chứng minh hai dãy này cùng hội tụ vễ một điểm. Câu 4. Cho ậ thỏa mãn bất đẳng thức 1 n a Ể 1 mọi n nguyên dương. Tìm min của a p . Câu 5. Đoạn m n là đoạn tốt nếu ứng với a b c là các số thực thỏa mãn 2ú 3b -ị ic 0 thì PT IX2 h r ì 0 có nghiệm thuộc m 77 . Tìm đoạn tốt có độ dài nhỏ nhất. Câu 6. i Tìm tất cả các hàm số x thỏa mãn .7 ỳ x T y f x y xy x2