tailieunhanh - ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII(2010) MÔN GIẢI TÍCH

Tham khảo tài liệu 'đáp án olympic toán sinh viên lần thứ xviii(2010) môn giải tích', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LAN THỨ XVIII 2010 Môn Giải tích Câu 1. Cho hàm số f x ln x 1 . a Chứng minh rằng với mọi x 0 tồn tại duy nhất số thực c thỏa mân điều kiện f x xf c mà ta ký hiệu là c x . M i l c X b lìm lim . x . x Giải. a Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh phương trình ln x 1 1 x c 1 có nghiệm duy nhất c với mọi x 0. Ta có thể giải trực tiếp được x ln x 1 b Ta có thể tính giới hạn . ĩ---------------1 . . . lim c x lim ln x 1 lim x _ ln 1 x x 0 x x 0 x x 0 x ln 1 x bằng cách sử dụng công thức Taylor ln 1 x x x2 2 o x2 hoặc dùng quy tắc L Hopitale x ln 1 x x ln 1 x x x 0 x ln 1 x x o x2 x o ln 1 x 1 lim -----1 x lim ĩ---- . 2x 1 2 1 x Câu 2. Cho dây xn được xác định bởi X1 1 Xn 1 Xn 1 xn010 n 1 2 . Tìm 2o1o 2o1o 2o1o lim x - . nỵ n v X2 X3 Xn P Giải. Với mỗi k 1 ta có x2010 x2011 Xk 1 - Xk 1 1 Xk 1 XkXk 1 Xk Xk 1 Xk Xk 1 Suy ra x2010 x2010 X2 X3 2010 xn xn 1 1 1 x1 xk 1 Rõ ràng xn là dãy tăng. Nhận xét rằng lim xn 1. Suy ra giới hạn n 1 cần tính bằng 1. Câu 3. Cho a 2 R và hàm số f x khả vi trên 0 1 thỏa mãn các điều kiện f 0 0 và f0 x af x 0 8x 2 0 1 . Chứng minh rằng f x 0 8x 0. Giải. Từ giả thiết ta có eax f0 x af x 0 8x 2 0 1 hay eaxf x 0 0 8x 2 0 1 suy ra eaxf x f 0 0 8x 2 0 1 tức f x 0 8x 2 0 1 . Câu 4. Cho hàm f x khả vi liên tục trên 0 1 . Giả sử rằng 11 Ịf x dx xf x dx 1. Chứng minh rằng tồn tại điểm c 2 0 1 sao cho f c 6. Giải. Nhận xét rằng hàm số g x 6x 2 thỏa mãn các điều kiện 11 g x dx xg x dx 1 00 suy ra 1 Ị f x - g x dx 0. 0 1 Hàm h x f x g x liên tục trên 0 1 và có tích phân J h x dx 0 0 nên không thể xảy ra trường hợp h x 0 8x 2 0 1 hoặc trường hợp h x 0 8x 2 0 1 . 2 Như thế phương trình h x 0 phải có ít nhất một nghiệm trong 0 1 . Giả sử rằng h x 0 chỉ có một nghiệm x a 2 0 1 . Xảy ra hai khả năng sau Nếu h x 0 8x 2 0 a thì h x 0 8x 2 a 1 . Khi đó 1 11 í xí x dx - 1 í xf x dx - í xg x dx 0 0 0 a1 ỵ xh dx Ị x x dx a1 a íh x dx íh x dx 0 a 1 1 xl x í a1 íah x dx íah x