tailieunhanh - ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII(2010) MÔN ĐẠI SỐ

Đây là tài liệu tham khảo liên quan đến lĩnh vực toán học kỳ thi olympic quốc tế năm 2010, giúp cho các bạn sinh viên có cơ hội nhìn nhận lại những sai sót, rút ra những kinh nghiệm trong những kỳ thi sắp tới. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LAN THỨ XVIII Môn Đại số Câu 1. Cho A B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho det A det A B det A 2B det A 2010B 0. i Chứng minh rằng det xA yB 0 với mọi X y 2 R. ii Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có det A det A B det A 2B det A 2009B 0. Giải. i Nhận xét rằng định thức p t det A tB là một đa thức bậc 2010 của t. Vì p 0 p 2010 0 nên ta có p t 0. Định thức q t det tA B là một đa thức bậc 2010 của t. Chú ý rằng q t t2010p t-1 khi t 0. Do đó ta cũng có q t 0 với mọi t. ii Có thể lấy ví dụ A diag 0 1 2 . 2009 và B I. Câu 2. Cho un vn wn là các dây số được xác định bởi u0 v0 w0 1 và 8n 2 N un 1 vn 1 wn 1 Un 7vn 5wn 2Un 8Vn 6wn 4un 16vn 12wn. Chứng minh rằng vn 2 là số nguyên chia hết cho 2n. -1 7 5 un Giải. Ký hiệu A 2 8 6 và với n 2 N Xn vn . Ta có 4 -16 12 n 8n 2 N Xn 1 AXn. Vậy nên 8n 2 N Xn AnX0. Đa thức đặc trưng của A là Pa x x x 1 x 2 . Do đó A có 3 giá trị riêng phân biệt A1 0 Ă2 1 Ă3 2 và A chéo hóa 13 1 02 -1 được. Từ đó nếu kí hiệu P 2 2 11 thì P1 11 1 1 I. Đặt 3 4 2 V-2 5 4 0 0 0 B 0 1 0 thì A PBP-1. Từ đây suy ra 8n 2 N Xn AnX0 002 PBnP-1 X0. Do đó vn 2n 2. Câu 3. i Chứng minh rằng ứng với mỗi số n nguyên dương biểu thức xn yn zn có thể biểu diễn dưới dạng đa thức Pn S P q bậc không quá n của s X y Z p xy yz ZX q xyZ ii Hây tìm tổng các hệ số của đa thức P2010 S P q . Giải. i Bằng qui nạp theo n. ii Giả sử X2010 y2010 z2010 P S P q . Ta cần tìm tổng các hệ số của P S P q tức là cần tìm P 1 1 1 . Từ Định lí Vi-et X y z phải là nghiệm của phương trình t3 t2 t 1 0. Từ đó chỉ việc chọn X 1 y i và z i ta được P 1 1 1 1. Câu 4. Xác định các đa thức thực P x thỏa mân điều kiện P x P x2 P x3 2x 8x 2 R. Giải. Ta nhận thấy đa thức hằng P x 0 và P x 1 thỏa mân bài toán. Bây giờ ta chứng minh rằng các đa thức bậc dương không thỏa mân. Chú ý rằng đẳng thức trong bài cũng đúng với các giá trị phức. Giả sử x0 là một nghiệm thực hoặc phức của P x . Nếu x0 0 thì