tailieunhanh - ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2009 MÔN GIẢI TÍCH

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2009. Đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUốC - 2009 Đề thi Môn Giải tích Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Giả sử dãy số xn được xác đinh theo công thức xi 1 x2 1 n - 1 xn-i xn-2 n 3 4 . Tính X2009 Câu 2. Cho hàm số f 0 1 R có đạo hàm cấp hai liên tục và f x 0 trên 0 1 . Chứng minh rằng 1 1 r . 2 f t dt 3 f t2 dt f 0 . Ị ư - Ị ư ư 00 Câu 3. Tìm tất cả các hàm số f R R thoả mãn các điều kiện í f x 4 2009x 8x 2 R V x y f x f y - 4 8x y 2 R. Câu 4. Giả sử f x g x là các hàm số liên tục trên R và thoả mãn điều kiện f g x g f x 8x 2 R. Chứng minh rằng nếu phương trình f x g x không có nghiệm thực thì phương trình f f x g g x cũng không có nghiệm thực. Câu 5. Cho hai dãy số xn và yn xác đinh theo công thức xi yi ựã xn 1 xn ự1 xn yn yn 1 11 1 I 2 1 1 yn2 n 2 3 . . . Chứng minh rằng xnyn 2 2 3 n 2 3 . và lim yn 0. nu Câu 6. Thí sinh làm một trong hai câu sau a Cho P x là đa thức bậc n với hệ số thực. Chứng minh rằng phương trình 2x P x có không quá n 1 nghiệm thực. b Cho f x x và f x x3 là những hàm số đơn điệu tang trên R. Chứng minh rằng hàm số f x -x2 cũng là hàm đơn điệu tang trên .