tailieunhanh - ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2009

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2009 Đề thi môn đại số. Đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUốC - 2009 Đề thi Môn Đại số Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Cho x y z là các số thực thỏa mãn các đẳng thức sau x y z x2 y2 z2 X3 y3 z3 0 2 0. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có x2n 1 y2n 1 z2n 1 0. Câu 2. Tồn tại hay không một ma trận thực A vuông cấp 2 sao cho A2010 2008 2010 V 0 -2009 Câu 3. Cho A B C là các ma trận vuông cấp n sao cho C giao hoán với A và B C2 E ma trận đơn vi và AB 2 A B C. a Chứng minh rằng AB BA. b Nếu có thêm điều kiện A B C 0 hãy chứng tỏ Câu 4. Tính A2009 trong đó rank A C rank B C n. 0 0 0 0 -Ạ 0 7 5 3 0 A 0 -5 4 2 0 0 -9 6 4 0 1 0 0 0 0 Câu 5. Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n n n ta đều có det A B det A det B. 2 sao cho với mọi ma trận vuông B cấp Câu 6. Thí sinh chọn một trong hai câu sau a Giải hệ phương trình 2x1 x2 - x3 2x4 x5 - x6 1 x1 2x2 2x3 x4 x5 - x6 1 x1 - 2x2 2x3 x4 x5 - x6 1 2x1 x2 - x3 2x4 x5 - x6 1 2x1 x2 x3 - x4 - x5 2x6 1 x1 2x2 x3 x4 2x5 x6 1 b Ung với mỗi đa thức P x với hệ số thực và có nhiều hơn một nghiệm thực gọi d P là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai nghiệm thực bất kỳ của nó. Giả sử các đa thức với hệ số thực P x và P x P0 x đều có bậc k k 1 và có k nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng d P P0 d P