tailieunhanh - ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2008 môn đại số

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2008do hội toán học Việt Nam tổ chức, đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2008 Đề thi Môn Đại số Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Cho ao d là các số thực và dãy a0 a1 a2 . an lập thành cấp số cộng công sai d. Tính định thức của ma trận a0 a1 a2 . . . an 1 an a1 a0 a1 . . . an-2 an 1 a2 a1 a0 . . . an 3 an 2 A . . . an 1 . . . an 2 . . . an 3 . . . . a0 . . . a1 an an 1 an 2 . . a1 a0 Câu 2. Cho A là ma trận thực vuông cấp 2 thoả mãn điều kiện det A 0. Chứng minh rằng tồn tại hai số thực phân biệt A1 A2 và hai ma trận A1 A2 sao cho An An A1 X2A2 8n 1 2. Câu 3. Cho A là ma trận thực vuông cấp 3 vết vết là tổng các phần tử trên đường chéo chính là 8. Tổng các phần tử trên mỗi hàng của A bằng 4 và det A 16. Xác định các giá trị riêng của A. Câu 4. Cho các số thực a1 a2 . a2008. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận thực vuông cấp n n 1 A1 A2 . A2008 thỏa mãn det Ak ak k 1 . 2008 và det P Ak 2009. k i Câu 5. Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Mọi phần tử của các ma trận A A 1 là số nguyên. Chứng minh rằng nếu A có n giá trị riêng đều là các số thực thì I det A A 1 2n. Câu 6. Tồn tại hay không đa thức P x bậc 2008 thỏa mãn điều kiện P k 2k vói k 0 1 . 2008 Tại sao Đáp án Môn Đại số Câu 1. Ta có 00 01 02 . . On-1 on 01 00 O1 . . on 2 on 1 det A D 02 . . 01 . . 00 . . . . . . On-3 . . On-2 . . . 0n 1 . 0n 2 . On-3 . . . 00 . 01 0n n 1 On-2 . . 01 O0 Cộng cột 1 vào cột cuối cùng ta được 00 01 02 . . . on 1 1 01 00 01 . . . on 2 1 02 01 00 . . . on 2 1 D 00 On . . . . . . . . . . . . . . . on 1 On-2 On-3 . . 00 1 0n on 1 on 2 . . 01 1 Nhân hàng thứ n 1 vói 1 rồi cộng vào hàng cuối cùng nhân hàng thứ n 2 vói 1 rồi cộng vào hàng thứ n 1 . nhân hàng 1 vói 1 rồi cộng vào hàng thứ 2 ta được D 00 On 00 d d . . 01 d d . . 02 . . . d . . d . . . . 0n 1 d -d . . 1 0 0 . . . d d d . d . 0 d d d d 0 d d d d d d d d d d d d d -d -d -1 n 00 0n . . . . . . . . . . . . . d d d d -d d d d d d Cộng hàng cuối cùng vào tất cả các dòng còn lại ta được 2d 0 0 . . . 0 0 2d 2d 0 . . . 0 0 2d 2d 2d . . . 0 0 D -1 n 00 0n