tailieunhanh - ĐÈ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SỐ

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2006 Đề thi môn đại số. Đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. | dmT HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦ N THỨ XIV NĂM 2006 Môn thi Đại số Th ời gian làm bài 180 phút . . . Ấ2006 1 Câu 1 Cho ma trận A 2 005 2 2005 1 - 006 . . 2 006 I . Xác định các phần tử trên đường chéo chính của ma trận -2005 S X .42 . .42006 -2006Ầ . . . . 2 006 . Dễ dàng tính ra B2 0 -2006 . . . . _ Ấ2005 Giải Ta có A J B với B 2005 2005 1 1 1 Ak J fcB v í e N . Từ đó suy ra s 2007J 007B Do đó các phần tử trên đường chéo chính là d 2007 1 a22 10 0 0 0 7 a33 2 007 1 Câu 2 Cho ma trận A I Vo í2 ỉ 8 6 8 0 4 6 I. Chứng minh rằng det J A2006 0 6 4 Giải Tính toán ta thấy ma trận A chéo hóa được. Do đó tồn tại ma trận p khả nghị ch sao cho 0 2 0 . í2 A PDP 1 trong đó D I 0 0 V. 0 I là ma trận chéo. 14 Suy ra 0 0 0 1 2 2006 0 0 ỵ 142006 Ta có do cả đị nh thức này đề u khác 0. Câu 3 Xác định n để hệ phương trình sau có 3 nghiệm độc lập tuyến tính 12 1 22x2 . n2xn 0 2 2X _ 3 2 X2 . . n 1 2xn 0 3 2X _ 1 2 X2 . . n 2 2xn 0 n 2X _ n 1 2x2 . 2n 1 2 Xn 0 Giải Gọi A là ma trận hệ số của phương trình 1 dmT l2 22 . n2 22 32 . A 42 . n2 . 2n 1 2 Nhân dòng k với 1 rồi cộng vào dòng k 1 k 2 . n 1 ta được l2 22 . n2 3 5 . 2ĩt 1 A1 7 . 2 n 1 2n 1 . . 4n 3 Nhân dòng k vớ i 1 rồi cộng vào dòng k 1 k 2 . . n 1 ta được 12 22 . n2 3 5 . . 2ĩt 1 x2 - ĩ 2 . 2 2 2 . 2 Dễ dàng suy ra rằng hệ phương trình có 3 nghiệm độc lập tuyến tính thì n 3. Câu 4 Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho mỗi dòng của nó chứa đúng 2 phần tử khác 0 trong đó phần tử nằm ở đường chéo chính là 2006 phần tử còn l ại là 1. Chứng minh ma trận A khả nghị ch. Giải Đặt A aij nxn . Ta chứng minh bằng phản chứng. Gi ả sử ngượ c l ại A suy bi ế n. Kí hi ệ u c í là cột thứ í của A khi đó có thể coi các cột c1 c2 . cn của A la2 n vector phụ thuộc tuyến tính trong R . Đo vậy phải có một tổ hợp tuyế n tính Ả1C1 Ả2c2 ncn 0 1 trong đó ít nhất một hệ số khác 0. Gi ả sử Ấm max A1 Ấ 2 . Ấm . Đương nhiên Ảm 0. Gi ả sử hai phần tử khác không của dòng