tailieunhanh - ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006

Câu 1: Với mỗi n ∈ N,cho un = 4n n4+2n2+9 . Đặt Sn = u1 + u2 + . + un. Tìm lim n→∞ Sn. Câu 2: Cho f là một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên (a, b). Giả sử có M 0 để |f00 (x)|≤ M với mọi x ∈ (a, b). Chứng minh rằng f là liên tục đều trên (a, b) | HỘI TOÁN TRUYỀN THốNG NĂM 2006 ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi Giải tích Thời gian làm bài 180 Câu 1 Với mỗi n e N cho Un n 1127 219 Đặt Sn U1 U2 un. Tìm lim Sn. n i n Câu 2 Cho f là một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên a b . Giả sử có M 0 để f x M với mọi x G a b . Chứng minh rằng f là liên tục đều trên a b . Câu 3 Cho f -2 2 -1 1 là một hàm số khả vi f không âm và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại x0 G 2 2 sao cho f X0 2 f X0 2 1. Câu 4 Cho hàm f liên tục trên R thỏa mãn f 0 0 và f x - f y sinx - siny x y e R. Chứng minh rằng 2 Ị f x 2 - f x dx 4 1. 0 Tìm tất cả các hàm f để đẳng thức xảy ra. Câu 5 Cho hàm f khả vi đến cấp 2 trên a b và f a f b 0. Chứng minh rằng tồn tại c G a b sao cho 4 f c b- f b - f a . 1 ĐÁP ÁN Câu 1 Ta có _ 1 1 _ 1 1 Un n2 - 2n 3 - n2 2n 3 n - 1 2 2 - n 1 2 2 n _ Đặt x X2 2 thì un n 1 n 1 . Do đó với n 2 Sn t 0 t 2 t 1 t 3 n 1 T n 1 T 0 T 1 T n 1 T n _ 1 1 1 1 2 3 n 1 2 2 n2 2 Từ đó ta có lim Sn 6. n tt 6 Cố định xo _ a b . Theo định lý Lagrange với mỗi x _ a b x0 tồn tại cx _ a b sao cho f x f xo f cx x xo . Do đó f x f x f xo f xo M x xo f xo M b a f xo Đặt K M b a f xo 0 ta có f x K với mọi x _ a b . Lúc đó với x x _ a b dễ thấy f x f x K x x Với 0 tùy ý cho trước chọn ỗ K. Nếu x x ỗ thì f x f x . Vậy f liên tục đều trên a b . Câu 3 Xét hàm số g x arcsin f x . Khi đó g 2 2 2 2 liên tục trên __Z Z TrTì ả T ri Pvotì I _ I I Tì OGA rTívìTì Iw ĩũríTũn TO Prrvi l ũi í _ I Qũ T 2 2 _l J- ả vi LiêXẤ y 2 2 J. T xxeo đị m Xý -L aT garx ge tQXXX Lạ i xo _ y 2 2 y sao cho ĩ A _ f xo g 2 g 2 1 f xo 2 Theo giả thiết vế trái không âm và vế phải nhỏ hơn n. Vì vậy 0 Ự1 íxíxo 2 1 2 Từ đây dễ dàng nhận được f xo 2 f xo 2 1. Câu 4 Với mỗi x G R ta có f x f x f 0 sin x sin0 sin x và f x 2 f x f x f x 1 sinx sinx 1 . Vậy 2 2 Ị f x 2 f x dx Ị sin x sin x 1 4 1. oo Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f liên tục trên R và với mỗi x G 0 2 f x sin x và f x 1 sin x 1 tức là f liên tục trên R và f x sin x trên 0 2 . Câu 5 Áp dụng khai triển Taylor của hàm f đến cấp 2