tailieunhanh - ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích

Đề thi toán olympic dành cho các bạn sinh viên trong các trường đại học, cao đẳng là một trong những tài liệu giúp cho cho các bạn có thêm những trãi nghiệm trong quá trình học tập của mình. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP 04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi Giải tích Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Cho dãy số xn xác định như sau x0 0 x -Ị -1 Vn 1. 0 Tính lim x2. n w Câu 2. Cho hàm số f x liên tục và dương trên 0 x . Chứng minh rằng hàm số J f t dt F x I------- J f t dt 0 đồng biến trên 0 x . Câu 3. Cho 0 a b. Tính tích phân 1 a I Ằ J bx a 1 - x Ấ dx. b lim I Ẵ Ỳ. Câu 4. Xác định các hàm số fx thoả mãn đồng thời các điều kiện sau i f x ex Vx G j . ii f x ỳ f x f ỳ Vx y ei . Câu 5. Cho đa thức P x thoả mãn điều kiện P a P b 0 với a b. Đặt M max P x . Chứng minh rằng a x b b b a J P x x - a x - b dx 2J P x dx a a b b 1 b J P x dx M b - a 3. a ------Hết---- 1 ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi Giải tích Câu 1. Cho dãy số xn xác định như sau x0 0 x -1 V 1. 0 Tính lim x2 w Ta chứng minh công thức _ -1 2004 -1 X 2004 . Thật vậy đặt x _h ta thu được J 2004 1 _ h n - - h n -1 1 -1 . 2004 2004 2004 -1 Suy ra h - h -1 -1 2004 và h - h 0 2 h i - h i -1 2 -1 2004 . i 1 i 1 Do x h 0 0 nên x 1 2004 2 -1 2004 i 1 -1 2004 -1 2004 Suy ra lim x2 w 2004 Ỵ 2005 J Câu 2. Cho hàm số f x liên tục và dương trên 0 x . Chứng minh rằng hàm số tf t dt F x Ỳ-------- ĩ f t dt 0 đồng biến trên 0 x . Giải. Ta có F x xf x Jf t dt - f x ịtf t dt 0_0_ ị t dl 2 0 J Vì z_f xC 0 ỉ i 2 ĩ f t dt 2 x 2 2 và xị f t dt - ịtf t dt ị x -1 f t dt 0 với f t 0 x t nên F x 0 khi x 0. 0 0 0 Do vậy F x là một hàm đồng biến trong 0 . Câu 3. Cho 0 a b. Tính tích phân 1 a I Ằ ị bx a 1 - x Ấ dx. 0 b lim I Ằ . Giải. a Đặt bx a 1 - x t ta có 1 b ị bx a 1 - x dx í dt i b - a 0 a L e 1b 1 bẰ 1 - aẰ 1 b-aẰ 1 a Ả 1 b-a b Từ a suy ra 1 r bẢ 1 - aẢ 1 V 1 w à V ni í b - a l Ằ 1 Ấ v 7 Suy ra 1 1 bb b-a lim 1 a . Câu 4. Xác định các hàm số f x thoả mãn đồng thời các điều kiện sau i f x e x Vx G j . ii f x ỳ f x f ỳ Vx y e j . Giải. Đặt f x e2004xg x . Theo giả