tailieunhanh - Đề thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc năm 2004 - Môn thi: Đại số

Đề thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc 2004 môn thi: Đại số. Đây sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi giữa kì và cuối kì | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP 04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi Đại số Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Cho các ma trận -1 -3 0 -1 -3 - 3 A - 3 2 1 T 0 -2 5 l 0 1 -1J K- 3 1 1J a Tính B T - XAT. b Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A. Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A B C ta luôn có AB - BA i0 C C AB - BA 2004. Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A B đều là nghiệm của đa thức fx x x và AB BA 0. Tính det A - B Câu 4. Cho ma trận thực A a thoả mãn điều kiện 0 i j a í jl 1 i j Chứng minh rằng a Nếu n 3 thì tồn tại ma trận A để sao cho detA 0. b Nếu n 4 ta luôn có detA 0. Câu 5. a Xác định đa thức f x dạng fx x5 - 3x4 2x3 ax2 bx c biết rằng nó chia hết cho đa thức x - 1 x 1 x - 2 . b Cho P x Q x R x là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3 2 3 thỏa mãn điều kiện P x Q x 2 R x 2. Hỏi đa thức T x P x Q x R x có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực kể cả bội của nghiệm . -----o0o----- 1 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi Đại số Câu 1. Cho các ma trận -1 -3 01 -1 -3 - 31 A - 3 2 1 T 0 -2 5 l 0 1 -12 k- 3 1 1 a Tính B T - XAT. b Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A. Giải. a Ta có -1 r -7 0 -21I f-1 I T 1 - -15 -10 5 B TAT -3 70 k -6 10 2 2 2 k 4 b Giá trị riêng -1 -3 4 . Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A B C ta luôn có AB - BA 2004C C Ab - BA . Giải. Tính toán trực tiếp ta thấy với cặp ma trận vuông cấp hai A và B bất kỳ AB và BA có cùng một vết. Từ đó suy ra ma trận D AB -BA có vết bằng 0. Vậy nên D 1 a b I và D2 a2 cb E. k c -a Do đó D2004 a2 cb ì002E và nó giao hoán với mọi ma trận C. Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A B đều là nghiệm của đa thức f x x2- x và AB BA 0. Tính det A - B Giải. Ta có A2 A B2 B nên A Bý A2 AB BA B2 A2 B2 A B A - B A2 - AB - BA B2 A2 B2 A B Đặt det A - B a det A B 3. Ta có det A B 2 det A B 2 hay det A - B det A B a2 Suy ra a 0 0 a 1 1 a -1 1 . Vậy ta có ba .