tailieunhanh - ÐÊ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUÔC LÂN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: Ð
ẠI SÔ

MÔN: Đại số thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu 1: Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, th a AB = BA và A2006 = B 2006 = 0 . Chứng minh ( A + B )2005 = 0 . Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 . 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 . 1 + x2 yn , xi , yi ∈ ¡, i = 1,., n. | BỘ GIÁO DỤC Trường ĐH An Giang CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SÓ Thời gian 180 phút NỘI DUNG Câu 1 Cho A B là các ma trận vuông thực câp 2 khác 0 thỏa AB BA và A 2006 B 2006 Câu 2 Cho 0. Chứng minh A B 2005 0. 1 x1 y 1 X1 y2 . 1 x 1 yn A n 1 x2 y . 1 x2 y2 . . . 1 x2 yn . 1 x ỵ2 1 xy2 . 1 xn yn xt yi G i 1 . n. Tính A2 A3. Từ đó tính An n 4 . Câu 3 Tìm một ma trận vuông câp hai B btj btj 0 i j 1 2 sao cho B có 2 giá trị riêng l 2 l 5. Câu 4 Cho A là một ma trận vuông thực câp n không khả nghịch và í là ma trận chuyển vị của A. Chứng minh rằng tồn tại các số thực x1 x2 . xn không đồng thời bằng 0 thỏa x1 x2. xn AfA x1 x2 0 xn J Người giới thiệu Thạc sỹ Hoàng Huy Sơn Trưởng bộ môn Toán Trường Đại học An Giang. 1 Bộ Giáo Dục Trường ĐH An Giang CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SÓ Thời gian 180 phút NỘI DUNG Câu 1 Cho A B là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0 thỏa AB BA và A2006 B2006 0. Chứng minh A B 2005 0. GIẢI Từ giả thiết A2006 0 suy ra detA 0. Ký hiệu A atj i j 1 2 thì ta có a è lan Dễ thấy ai2 lan 0 12 7 A2 a1 laư a12 y a11 la12 I la11 ai2 lai2 0 a11 a11 la. a12 a11 la12 A 11 11 12 12 11 12 la11 a11 la12 la12 an la12 A an la12 a a11 a12 a la1ọ a a11 a12 è lan la2 12 11 12 è la11 la 2 12 A2006 an la12 2005 A. Do A2006 0 và A 0 nên an la12 2005 0 an la12 0. Vậy A2 0. Từ đó An 0 n 2. Tương tự thì Bn 0 n 2. 2005 Ta có A B 2005 ỵ r. A2 5 nBn 0. Đpcm Câu 2 Cho 1 1 y 1 1 y2 . . 1 1 yn D n 1 2 y 1 2 y2 . . . . 1 2 yn . . 1 nyi 1 n y2 . . 1 nyn Tính D2 D3. Từ đó tính Dn n 4 . GIẢI 2 D 2 1 X y 1 X y2 1 X2 y 1 X2 y2 1 1 1 X1 y2 X1 y 1 X1 y X1 y2 1 1 1 X2 y2 X2 y 1 X2 y X2 y2 0 y2 X2 - X1 y1 X1 - X2 0 X2 - X1 y2 - yẠ 1 X1 y 1 X1 y2 D3 1 X2 y 1 X2 y2 1 X3 y 1 X3 y2 1 X1 y3 1 X2 y3 1 X3 y3 Dùng các tính chất của định thức giống như đối với D 2 ta có các định thức thành phần