tailieunhanh - cách chứng minh khác nhau cho bất đẳng thức quen thuộc

cách ch ng minh khác nhau cho b t đ ng th c quen thu c 3 2 Ch ng minh r ng ta luôn có : cosA + cosB + cosC ≤ trong đó A, B, C là ba góc c a m t tam giác b t kì . (Ch ng minh theo th t chương trình h c Ph thông) Cách 1: Dùng t s Di n Tích K các đư ng cao AD, BE, CF Đ t S∆AEF = S1 , S∆BF D = S2 , S∆CED = S3 , S∆ABC = S S1 S2 S3 ; cosB = ; cosC =. | CÁCH CHỮNG MINH KHÁC NHAU CHO BẤT ĐẲNG THỮC QUEN THUỘC _ 3 cosA cosB cosC 2 Chứng minh rằng ta luôn có trong đó A B C là ba góc của một tam giác bất kì . Chứng minh theo thứ tự chương trình học Phổ thông Cách 1 Dùng tỉ số Diện Tích Kẻ các đường cao AD BE CF Đặt SKAEF S1 SKBFD S2 SKCED S3 SA ABC S . . . Sl cosA ỳ S cosB y S cosC u S ỈS1 _ I 1 AF AE VS V 2 AB AC 1 Tương tự .S i FB BD 2 S 2 AB BC 1 CD . CE V S 2BC AC Cộng 1 2 3 ta có 1 AF AE 1 FB BD 1 CD CE 3 cosA cosB cosC 2 2 2 -1 - -Ị -777 A đpcm o A D A fl o v 1 D O - A fl o v 2 AB AC 2 AB BC 2 BC AC 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Cách 2 Vận dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell Cho tam giác ABC. M là một điểm bất kì nằm trong tam giác . Đặt X1 MA X2 MB X3 MC và P1 P2 P3 lần lượt là khoảng cách từ M đến BC CA AB tương ứng. Khi đó ta có bất đẳng thức X1 X2 X3 2 pi P2 P3 Vận dụng giải bài trên Gọi O R là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M N P lần lượt là trung điểm của cạnh AB BC CA. Ta dễ dàng nhận thấy A MOB. 4 OM OM Do đó cosA cos MOB 22 2 ON O OP R Tương tự cosB 22 cosC 2 ỈỈ Do đó 2SC OM ON OP i OA B OC R 2 R Mordell Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Cách 3 Sử dụng BĐT Trêbưsep. Gọi a b c là ba cạnh tam giác sử dụng công thức hình chiếu ta có a b c Cộng ba biểu thức trên ta có a b c c b cosA a c cosB a b cosC Không mất tính tổng quát giả sử a b c ta có cosA cosB cosC c b a c a b Do đó a b c c b cosA a c cosB a b cosC 3 cosA cosB cosC c b a c a b Trêbưsep 1laisac 3 2 đpcm . Erdos- 1 cosA cosB cosC 2 đpcm Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. Cách 4 Phuong pháp vectơ. Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và M N P lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đó với các cạnh AB AC BC ta có 0 IM N ẽ 2 O0 3r2 2 M. N tf. P Ta nhận thấy 2r2cosMIN 2r2cosA Vì MIN và góc A bù nhau Tương tự I 2r2cosB 2r2cosC Vậy từ suy ra cosA cosB cosC 2 dpcm Cách 5 Phuong