tailieunhanh - LUẬN VĂN: Một số tính chất của đa thức

Trong toán học, đa thức trên một vành (hoặc trường) K là một biểu thức dưới dạng tổng đại số của các đơn thức. Mỗi đơn thức là tích của một phần tử (được gọi là hệ tử hoặc hệ số) thuộc K với các lũy thừa tự nhiên của các biến. | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO trường . LUẢN VÃN Một sô tính chât của đa thức 0 Mục lục Lời nói đầu . 1 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4 Một số tính chất cơ bản của đa thức. 4 Các định lý dạng Viète. 8 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. 14 2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 57 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc Một số bài toán về khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . 72 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp Kết Tài liệu tham 1 Lời nói đầu Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt sau khi định lý cơ bản của đại số do Gauss chứng minh khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức khác hằng số luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu thường được gọi là quy tắc dấu Descartes để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích đặc biệt là định lý Lagrange và bổ đề Rolle việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo hàm đạo hàm của một đa thức thực được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là khi đa thức P x G R x có k nghiệm thực thì đa thức P x sẽ có ít nhất k 1 nghiệm thực. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là Khi nào thì một đa thức P x G R x với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm gọi là đa thức nguyên hàm F1 x Ị P t dt 1 X1 có đủ k 1 nghiệm thực Tương tự khi nào thì một đa thức P x E R x với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một nguyên hàm cấp s s 1 gọi là đa thức nguyên hàm cấp s dạng X F. x f Fs-i x dt 2 Xs có đủ k s nghiệm thực