tailieunhanh - Một số bài toán số học - Tổ hợp

Bài giảng này nhằm mục tiêu giới thiệu môt số bài toán có thể gọi là thuộc loại số học tổ hợp. Thực ra không có một định nghĩa nào cho loại bài toán đó | 1 Một số bài toán số học - Tổ hợp Ị Hà Huy Khoái Viện Toán học Bài giảng này nhằm mục tiêu giới thiệu một số bài toán có thể gọi là thuộc I loại số học - to hợp . Thực ra không có một định nghĩa nào cho loại bài toán đó nên ơ đây chi giới híỊH ở việc đưa. ra một số ví dụ về loại bài toán thường gặp trong những kỳ thi học sinh giói mà việc giải chúng đòi hỏi những phương pháp của số học và tổ hợp. Dể tiện theo giòi chĩìng tôi tạm chia bài giăng thành bốn phần Tỷ số vàng. Các dãy nhị phân Tính chia hết và Trò chơi. Khi trình bày các lời giải trong chừng mực có thể chúng tôi cố gắng mô tả quá trình hình thành nên lời giải đó hơn là đưa ra một lời giải ngắn gọn. 1. Tỷ số vàng. Chúng ta đều biết tỷ sẻ vàng sau đây thường xuất hiện trong khoa học nghệ thuật và đời sống 1 5 2 Tỷ số vàng đó cũng thường bắt gặp trong lời giải của những bài toán số học - tó hợp. Trước tiên ta xét ví dụ sau Bài toán 1. Giả sử 7 ỗ là những số vô tỷ dương thỏa mãn 7 ỗ 5 Chứng minh rằng nếu đặt an bn nổ thì mỗi số nguyên dương xuất hiện đúng một lần trong một trong hai dãy an bn. Phân tích - Lời giải Rõ ràng yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh rằng các số trong mỗi đoạn hữu hạn tùy ý 1 2 At có mặt ở một trong hai dãy và xuất hiện đúng một lần. Như vậy vấn đề chỉ còn là đếm xcm trong At - 1 số nguyên dương nhỏ hơn N có bao nhiêu số thuộc một trong hai dãy nói trên. Xét mọi số nguyên dương n thỏa mãn At tức là n y. Như vậy các số n thỏa mãn là n 1 2 y Tương tự các số rn sao cho mồ N là 777. 1 2 Như vây trong các số nguyên dương nhỏ hơn N số các số thuộc một trong hai day an bn là y ly . Do 7 5 là các số vô tỷ nên y y ị 1. Từ đó ta có suy ra Do đó Như vậy trong At 1 số nhỏ hơn At có đúng At 1 số thuộc một trong hai dãy đang xét . Bài toán trên đây là một thành phần của rất nhiều bài toán tổ hợp. Trong bài giang này chúng ta sẽ xem xét hai bài thuộc loại đó. Bài toán 2. 6 Tìm các dãy tăng các số nguyên dương ữ 6 i thỏa mãn những tính chất sau 1 - 1. 2 Với mọi n 1 bn