tailieunhanh - Hình Học Vi Phân - Chương 2 Lý Thuyết Mặt

Có thể hình dung mặt chính qui trong R3 như sau: Lấy một số mảnh mặt phẳng biến dạng chúng và dán lại sao cho hình nhận được không có các điểm nhọn, không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để lại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt. | Chương 2 Lý thuyết mặt Mặt chính qui Có thể hình dung mặt chính qui trong R3 như sau Lấy một số mảnh mặt phẳng biến dạng chúng và dán lại sao cho hình nhận được không có các điểm nhọn không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt. Các mặt cũng sẽ được giả thiết đủ trơn để có thể mở rộng các khái niệm cũng như các kết quả của giải tích lên chúng. Định nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu cầu trên. Định nghĩa 1. Một tập hợp con S c R3 được gọi là một mặt chính qui nếu Vp G S tồn tại lân cận V c R3 của p và ánh xạ X U V n S với U là một tập con mở của R2 thỏa mãn 3 điều kiện sau 1. Ánh xạ X là khả vi có nghĩa là X u v x u v y u v z u v u v E U với x y z là các hàm có đạo hàm riêng mọi cấp. 2. Ánh xạ X là một đồng phôi từ U vào V n S. Vì X là liên tục theo điều kiện 1 nên X là một đồng phôi có nghĩa là X có ánh xạ ngược X-1 V n S U liên tục. Nói cách khác X-1 là hạn chế của một ánh xạ liên tục F W c R3 R2 xác định trên một tập mở chứa V n S. 3. Tính chính qui Với mọi q E U đạo hàm DXq R2 R3 là một đơn ánh. Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa địa phương của S cặp U X gọi là một hệ tọa độ địa phương hay một bản đồ của S còn lân cận V n S của p trong S gọi là một lân cận tọa độ. 1 Hình học vi phân Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1 Chúng ta phân tích rõ hơn về Điều kiện 3 bằng cách xét ma trận Jacobi của X tại q. Giả sử q u0 v0 . Xét đường tham số u I x u vo y u vo z u vo . Đường cong này được gọi là đường cong tọa độ V Vo nằm trên mặt S đi qua p X q và có vector tiếp xúc tại p là dx dy dz dX . du du du du Ở đây các đạo hàm riêng được tính tại q u0 v0 . Theo định nghĩa của đạo hàm ta có DXq ei dx dy dz du du du X du với e1 là vector tiếp xúc của đường tham số u I u v0 trong R2 tại điểm q. Đường tọa độ v v0 là ảnh của đường cong này qua ánh xạ X. Tương tự ta có e2 là vector tiếp xúc của đường tham số v I u0 v trong R2 tại điểm q. Đường tọa độ u u0 là ảnh của đường cong này qua ánh xạ X và dx dy dz dX dv dv dv dv DXq .