tailieunhanh - Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi"

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi. | TẠP CHÍ KHOA HỌC Đại học Huế Số 59 2010 ĐẶC TRƯNG CẤP HAI CỦA HÀM VÉC Tơ Lồi Phan Nhật Tĩnh Trường Đại học Khoa học Đại học Huế Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi giới thiệu một khái niệm mới về các ánh xạ C-xác định và chứng minh rằng một hàm véctơ hai lần khả vi liên tục là lồi theo nón C nếu và chỉ nếu vi phân cấp hai của nó là C-xác định. Kết quả này mở rộng kết quả đã biết về đặc trưng cấp hai của các hàm lồi trong giải tích co điển. 1. Giới thiệu và một số kiến thức chuẩn bị Gần đây lớp hàm véc tơ lồi đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì cấu trúc đặc biệt cũng như những ứng dụng của chúng trong tối ưu véc tơ xem 1-7 . Một trong những vấn đề người ta quan tâm khi khảo sát lớp hàm này là các đặc trưng của chúng. Trong các công trình 6 7 các đặc trưng của tính lồi của hàm véc tơ được biểu hiện qua các tính chất đơn điệu của đạo hàm theo hướng và vi phân của chúng đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng. Tuy nhiên các kết quả liên quan đến mối quan hệ của hàm véc tơ lồi với các tính chất đặc thù của vi phân cấp hai của chúng còn hết sức sơ sài. Mục đích của bài báo này nhằm thiết lập mối quan hệ đó mà khi đưa về trường hợp vô hướng thu lại được các kết quả cổ điển về chủ đề này trong giải tích lồi. Ta nhắc lại rằng một tập không rỗng C c Rm được gọi là nón nếu tc 2 C 8c 2 C t 0. Một nón C c Rm xác đinh trên Rm một thứ tự đinh nghĩa bởi x A y y x 2 C. Một hàm véc tơ f từ một tập con lồi không rỗng D c Rn vào Rm được gọi là lồi tương ứng với C nếu với mọi x y 2 D x y A 2 0 1 ta có f Ax 1 - A y N Af x 1 - A f y . Cho X Y là hai không gian đinh chuẩn ta kí hiệu bởi L X Y là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y. Chuẩn trên không gian L X Y xác đinh bởi A 2 L X Y IIAII supf A x Ix 2 X x 1g. 127 Định nghĩa . Một toán tử F D c Rn L Rn Rm được gọi là đơn điệu tương ứng với C nếu F x - F y x - y 2 C 8x y 2 D. Cho D C Rn là một tập mở không rỗng x 2 D và f D Rm là một hàm véc tơ khả vi tại x. Ta kí hiệu vi phân của f tại x là Df x . Giả sử f .