tailieunhanh - Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên"

Tài liệu tham khảo về đề tài: Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên. | TẠP CHÍ KHOA HỌC Đại học Huế Số 59 2010 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẤU TRÚC ĐốI XỨNG CỦA TÍCH DESCARTES CÁC NỬA KHÔNG GIAN TRÊN Trần Đạo Dõng Dại học Huế Hoàng Thái Vũ Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế Tóm tắt. Một trong các bài toán cơ bản trong hình học vi phân và lý thuyết Lie là khảo sát không gian đối xứng địa phương dưới dạng không gian thương của không gian đối xứng cảm sinh qua tác động của các nhóm con số học đặc biệt là các nhóm rời rạc. Trong 6 chúng tôi đã khảo sát cấu trúc không gian đối xứng của nửa không gian trên H3 được thể hiện như không gian đối xứng SL 2 C SU 2 qua tác động của SL 2 C . Từ đó ứng dụng khảo sát một số tính chất của không gian đối xứng địa phương SL 2 Z iZ SL 2 C SU 2 cảm sinh qua tác động của nhóm rời rạc SL 2 Z iZ trên H3. Trong bài viết này chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp tích Descartes 113 H3 X . X H3 của các nửa không gian trên được thể hiện như không gian đối xứng SLn 2 C SUn 2 cảm sinh qua tác động của nhóm con rời rạc SLn 2 Z iZ trên H . 1. Cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nửa không gian trên Định nghĩa . Cho H s tj s t 2 C là đại số quaternion chuẩn tắc . Tập hợp H3 z s tj 2 H s 2 C t 2 R t 0 z x yi tj 2 H x y t 2 R t 0 - x y t x y t 2 R t 0 được gọi là nửa không gian trên. Khi đó H3 là một đa tạp 3 chiều với cấu trúc Riemann 2 dz 2 dx2 dy2 dt2 ds U -------- t2------. Hìn nữa ta có Mệnh đề . Cho đa tạp H3 và điểm cố định zo xo yo to 2 H3. Khi đó ánh xạ fZũ H3 - H3 x y t 1 2xo - x 2yo - y í là một vi phôi đẳng cự và đối hợp. Suy ra H3 là một không gian đối xứng. Chứng minh. i fZ0 song ánh là rõ. 17 ii Do các ánh xạ thành phần khả vi nên fzo khả vi. iii Ta ró fzo 2 x y t fzo fzo x y í fzo 2x0 - x 2y0 - y t x y t 8 x y t 2 H3. Vậy fzo 2 IdH3. Suy ra fzo là một phép biến đổi đối hợp. Hơn nữa do fzo 2 nên fzo -1 fzo. Suy ra fzo -1 cũng khả vi. iv Mặt khác fzo được biểu diễn dưới dạng fzo H3 - H3 x yi tj I x - yi tj 2x0 2y0i . Suy ra fzo là một phép biến đổi đẳng cự của H3. Từ đó fzo là một vi phôi đẳng cự và