tailieunhanh - Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p4

Tham khảo tài liệu 'giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p4', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ương 7. Phương Trình Truyền Sóng Bài toán Diriclet DE Bài toán Neumann NE Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Laplace Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Laplace d 2u d 2u -7 3 -7 7- f x y dx2 dy2 d2u d2u -7 3 T f x y dx2 dy2 và điều kiện biên u 9d g x y và các điều kiện biên du _ . u 9d g x y Im 9d h x y ơn Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất Bài toán CH1a Cho các miền D 3 H D X 3 và hàm h e C D 3 . Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền sóng 2 2 u a2 u với x t Ho dt2 dx2 và điều kiện ban đầu u x 0 0 x 0 h x dt Đổi biến ệ x at n x - at Tính các đạo hàm riêng bằng công thức đạo hàm hàm hợp du du du du du du I a I dx dặ dn dt I dặ dp d 2u d 2u d 2u d 2u d 2u 2 d 2u d 2u d 2u I T-T - 2 -2 2-22 a2 2-22-2 -2 I dx2 dặ2 dỊdp dp2 dt2 Id32 dcdp dp2 Thế vào phương trình nhận được phương trình d 2u d dn 0 Tích phân hai lần u ặ n ọ ặ v n Trở về biến cũ u x t ọ x at y x - at Thế vào điều kiện ban đầu u x 0 ọ x v x g x và ú x 0 a ọ x - v x h x Chương 7. Phương Trình Truyền Són Tích phân phương trình thứ hai đưa về hệ phương trình ọ x v x 0 ọ x - Y x 1J h ệ dệ a 0 Giải hệ phương trình trên tìm ọ x và y x và suy ra nghiệm của bài toán x at u x t A. J h ệ dệ x-at Đinh lý Cho hàm h e Ơ D 3 . Bài toán CH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức Chứng minh Do hàm h e C1 D 3 nên hàm u e C2 H 3 . Kiểm tra trực tiếp V x t e H ậỉ. 1 a h x at h x - at dt 2 a2u 1 2d2u a h x at h x - at a at2 2 dx2 V x e D u x 0 0 1 x 0 h x at . . . a2u d2u du Nếu u là nghiệm của bài toán a2 u x 0 0 x 0 hi dt2 dx2 dt . . d 2u .ớ 2u du thì u u - u2 là nghiệm của bài toán a2 u x 0 0 x 0 h - h2 h dt2 dx2 dt Với mỗi T 0 cố định kí hiệu B x - aT x aT và HT B X 0 T . Từ công thức chúng ta có ước lượng sau đây V x t e Ht u x t T supB h ệ Từ đó suy ra h h1 - h2 0 u u1 - u2 0. h hi - h2 ỗ u ui - u2 e Tỗ Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên HT với mỗi T cố định. Do tính liên tục của nghiệm suy ra bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên