tailieunhanh - Tích phân suy rộng (Phần 2)

Tham khảo sách 'tích phân suy rộng (phần 2)', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] Tích phân suy rộng loại 2 là với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b] Định nghĩa. Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b Nếu f kỳ dị tại a Nếu giới hạn hữu hạn: hội tụ Ngược lại: phân kỳ. Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b) Nếu f kỳ dị tại a và b (vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ) Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi > 0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x). Với Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn dùng như tp xác định. Ví dụ Vậy tp trên phân kỳ. kỳ dị tại x = 0 Ví dụ f kỳ dị tại x = 0 Ví dụ f kỳ dị tại x = 1/2. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ], >0, kỳ dị tại b Nếu hội tụ thì hội tụ phân kỳ thì phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh | TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] Tích phân suy rộng loại 2 là với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b] Định nghĩa. Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b Nếu f kỳ dị tại a Nếu giới hạn hữu hạn: hội tụ Ngược lại: phân kỳ. Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b) Nếu f kỳ dị tại a và b (vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ) Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi > 0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x). Với Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn dùng như tp xác định. Ví dụ Vậy tp trên phân kỳ. kỳ dị tại x = 0 Ví dụ f kỳ dị tại x = 0 Ví dụ f kỳ dị tại x = 1/2. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ], >0, kỳ dị tại b Nếu hội tụ thì hội tụ phân kỳ thì phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 Đặt phân kỳ phân kỳ 0 k Cùng hội tụ hoặc phân kỳ k = 0 hội tụ hội tụ k = (giới hạn tại điểm kỳ dị) Tích phân cơ bản Hội tụ khi và chỉ khi < 1 kỳ dị tại b kỳ dị tại a Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) Cho f(x) khả tích trên [a, b - ], 0, nếu hội tụ thì hội tụ. Khi đó ta nói hội tụ tuyệt đối. Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| Hội tụ tuyệt đối hội tụ Ví dụ Khảo sát sự hội tụ: f kỳ dị tại x = 0 Chọn Chọn I cùng bản chất với nên hội tụ. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ: f(x) ≥ 0, kỳ dị tại /2 và 0, tách I thành 2 tp I1 I2 Xét I1: f kỳ dị tại x = 0 Chọn I1 cùng bản chất với nên hội tụ. Xét I2: f kỳ dị tại x = /2 Chọn Chọn I2 cùng bản chất với nên pkỳ I1 hội tụ, I2 phân kỳ I hội tụ Ví dụ Khảo sát sự hội tụ: Tổng quát I không phải là tích phân suy rộng loại 1. I1 hội tụ I2 hội tụ I phân kỳ với mọi Ví dụ Khảo sát sự hội tụ f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân: I1 I2 (do x = 0 quyết định) (do x = + quyết định) I1 cùng bản chất với nên hội .