tailieunhanh - GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 DH quốc gia HCM phần 7

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Thí dụ 5: V. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 1. Ðịnh nghĩa Cho hàm số fậxờyờzấ xác ðịnh trên mặt Sề ũhia S thành n mặt con S1, S2, ờ Sn không | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 hình và khi đó ta có Thí dụ 5 Tính Ta có yzdx xzdy xydz d xyz Vậy f ex cos y yz dx xz - ex sin y dy xy z dz Thí dụ 6 Tính Ta có các hàm p excosy yx Q yz - exsiny R xy z thỏa điều kiện iii của Định lý 2 vì Ếĩì 0 ẾSì 1 dx dy 3y 3z dz dx Như thế áp dụng định lý 2 tồn tại hàm u sao cho U x y U y x U z 4 73 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Từ U x y - U x y z yx f y z Cùng với U y x có U y x Ty X - fy 0 - f không phụ thuộc vào y - f h z - U x y z yz h z - cùng với U z 4 h z 4 h z 4z C Vậy U x y z yx ự 4z c Và nghiệm u phải thỏa du 0 - yx 4z C V. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 1. Định nghĩa Cho hàm số f x y z xác định trên mặt s. chia s thành n mặt con A Si A S2 . A Sn không chồng lên nhau và diện tích tuơng ứng của các mặt con cũng ký hiệu là A S1 A S2 . A Sn . Trong mỗi mặt A Si lấy một điểm Mi xi yi zi bất kỳ. Lập tổng tích phân Sn f Mi ASi i-ũ Khi cho max d A Si - 0 d A Si đuờng kính của mặt A Si nếu tổng tích phân Sn tiến tới 1 giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt s và cách lấy các điểm Mi thì giới hạn đó gọi là tích phân mặt loại 1 còn gọi là tích phân mặt theo diện tích của hàm f x y z trên mặt s và ký hiệu IJ f x y z ds s Khi đó ta nói f khả tích trên s. Mặt s đuợc gọi là mặt trơn nếu hàm vectơ pháp tuyến n x y z liên tục và khác 0 trên s. Đã chứng minh đuợc rằng nếu f x y z liên tục trên mặt cong trơn s thì tích phân mặt loại 1 của f x y z trên s tồn tại. 2. Tính chất Từ định nghĩa ta có các tính chất sau 74 Sưu tâm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Nếu f g khả tích trên s thì kf g cũng khả tích trên s và Nếu s được thành 2 phần s S1 S2 thì Diện tích mặt s được tính là s 3. Cách tính tích phân mặt loại 1 Giả sử mặt s có phương trình z z x y với hàm z x y liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa hình chiếu D của S xuống mặt phẳng xy. Ta tính gần đúng A Si bằng mảnh phẳng tiếp xúc tương ứng chương 1 ta có Trong đó A Di là diện t ích hình chiếu của A Si xuống mặt phẳng xy. Như vậy ta có tổng tích