tailieunhanh - Các bài toán về số tổ hợp chỉnh hợp và phép đếm

Bài giảng này đề cập đến các loại toán sau đât của chủ đề này : Giải phương trình liên quan đến số tổ hợp , chỉnh hợp. Chứng minh các hệ thức tổ hợp ( không sử dụng công thức khai triển của nhị thức newtơn, các bài toán về phép đếm | Bài giảng sô 11 CÁC BÀI TOÁN VẾ SÚ TÚ HQP CHÍNH HQP Và phép đém Bài giảng này đề cập đến các loại toán sau đây của chủ đề này - Giải phương trinh liên quan đến số tổ hợp chỉnh hợp. - Chứng minh các hệ thức tổ hợp không sử dụng công thức khaĩ triển của nhị thức Newton . - Các bài toán về phép đếm. 1. CHỬNG MINH CÁC HỆ THÚC Tổ HỢP Phương pháp giải này dựa trực tiếp vào các công thức tính các số tổ hợp C số chỉnh hợp AỊi và số hoán vị pn. Hai công thức rất hay sử dụng trong mục này là c crk và c 1 Ck c -1. Xét các thí dụ minh họa sau đây Thí dụ 1 Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2008 Cho n nguyên dương và k nguyên 0 k n . Chứng minh hệ thức sau n lf 1 1 Ỵ 1 Giải Ta có n l 1 1 ì n 1 Cn Î Cn I 2lck 1 cỉrj n 2 C ỉ _n l C l n 1 n 2 k n 1-k l n-k n cX n 2- k l n l-k n l n 1 n l n l n 2 k n-k k n k _L n 2 n l n n l n Cnk p Thí dụ 2 Đề thi tuyển sinh Đai học Hùng Vưững - 2006 Chứng minh với mọi sô tự nhiên n 2 ta có 1 1 1 1 n-1 A22 A2 A24 A2 n 201 Giải Ta có . .1 0 . 1 2 . n-2 A22 A23 A24 A2 2 3 4 n . 1 n-l n 1 1 n -1 n 1 4 --------- 2 2 3 3 4 1 11 _ 1 . 4 - - - đpcm. n n Thí dụ 3 Cho k n là các số nguyên và 4 k n. Chứng minh cỉí 4C 1 c 2 4Cjr3 cjr4 Cn 4. Giải Áp dụng tính chất của số tổ hợp ta có pk pk Ị pk-1 n 4 n 3 vn 3 Cn 2 Cn 2 n 2 Cn 2 cnk i C 2 c ỉ C 2 c 2 c 3 cjị 4- c -1 3 cỉr1 cỉr2 3 cỉr2 cỉr3 cỉr3 cí -4 cjj 4Cn-1 6C 2 4Cỉ -3 c -4 í đpcm. Thỉ dụ 4 Chứng minh rằng với mội số nguyên n 1 ta cỏ 1 2 r 3 pn c1 4-7 ĨL 4-ì 4L 4- 4-ní- c2 cn 2 r 1 j r2 - n n 1 cn l - n n - n Giải Với k 1 2 . n ta có k cn _kn n l-k k-l _ k-l k n-k n l-k n -k kìn n -k k n-k l. Từ đó suy ra r 2 n Cn 2rr 3 - . n- ỌT n n-l n-2 . l n pl p2 pn-1 V V cn un cn n n l 2 cn2 l đpcm. Thí dụ 5 Cho n 2 là số nguyên chứng minh rằng Pn l P1 2P2 3P3 . n-l P _1 ở đây Pk là số hoán vị của k phần tử k 1 2 . n. 202 Giải Ta có pk- pk l k - k-1 k-l k- k-1 k-1 k-1 k-1 Pk. 1 Áp dụng liên tiếp 1 ta có aị 7 _ 0 V OT N II II II T QT a 1 1 1 0 0 07 - - . Cộng từng vế các đẳng thức trên .