tailieunhanh - Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa

Chúng ta xem xét trƣờng hợp này trƣớc, không nhất thiết bởi vì khả năng thực tế của nó, mà bởi vì nó trình bày cho chúng ta những ý tƣởng cơ bản của phân tích hồi quy một cách đơn giản nhất có thể đƣợc và một số trong những ý tƣởng này có thể đƣợc minh họa bằng các biểu đồ hai chiều. Hơn nữa, nhƣ chúng ta sẽ thấy, đứng về nhiều phƣơng diện trƣờng hợp phân tích hồi quy bội tổng quát là sự mở rộng hợp lý của trƣờng hợp hồi quy hai biến | Giải tích một biến Bài 10 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Chuỗi luỹ thừa Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor và công thức Taylor Vi phân và tích phân chuỗi lũy thừa Các phép toán của chuỗi lũy thừa 1. Chuỗi luỹ thừa Định nghĩa. a0 a1x a2x2 - anxn n Ký hiệu là 2 anx ở đó an là các số thực x là biến số. K Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ phân kỳ tại x0 chuỗi số 2 anx0 hội tụ phân kỳ chuỗi n 0 rc K 2 anxn hội tụ trên khoảng a b chuỗi số 2 anx0 hội tụ x0 tuỳ ý e a b n 0 n 0 Ví dụ 1. 2 xn 1 x x n 0 n Đã biết hội tụ khi x 1 có 2 x n 0 Phân kỳ khi x 1 1 1 - x n BÔ đề. 2 anx hội tụ tại x1 0 thì sẽ hội tụ tuyệt đối tại những x thoả mãn x x1 và nếu nó phân kỳ tại x2 thì sẽ phân kỳ tại x thoả mãn x x2 Chứng minh. n x anx anx1 x1 Do 2 n 0 n anx hội tụ nên có anxf 1 V n N tự x x1 n 1 khi xl lx1 x Đặt x1 n có r hội tụ r x n anx hội tụ n 0 Tương tự khi x x2 có anx2 phân kỳ do đó n 0 anxn2 1 Vn N n x x Đặt x2 - n có r phân kỳ. n anx n anx2 1 x2 x2 r x Định lý. Đối với chuỗi luỹ thừa anxn luôn có chỉ một trong các khẳng định sau Chuỗi luỹ thừa chỉ hội tụ tại x 0. Chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối với mọi số thực x. Tồn tại một số thực R sao cho chuỗi hội tụ tuyệt đối với x R và phân kỳ với x R. Khi đó số thức R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa. Nhận xét. Quy ước viết R 0 ở khẳng định 1 R ở khẳng định 2 từ đó có thể phát biểu gọn định lý này như sau n Mọi chuỗi luỹ thừa anx đều có một bán kính hội tụ R với 0 R khi đó chuỗi hội n 0 tụ tuyệt đối với x R và phân kỳ với x R. Cách tìm bán kính hội tụ R R lim an an 1 hoặc R 1 n K n Ví dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi 2 n 1 n2 an 11 n 1 2 n - 2 I 2 an 1 n n 1 V n lim a n 1 n an 1 R 1 chuỗi hội tụ với x 1 phân kỳ với x 1. x2 n2 Tại lx 1 có 1 1 2 mặt khác V 2 hội tụ do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại Ixl 1. Khoảng hội tụ là - 1 1 n 2 Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa V n x 0 3 n 2 n 3 n 2 n 3 a-an 1 3n 3n 1 lim n tt 3 an an 1 R 3 chuỗi hội tụ khi Ixl 3 phân kỳ khi Ixl 3. n Tại x 3 có V anx Tại x - 3 có V anx 0 Khoảng hội tụ - 3 3 . V V n

• Toán học
• giải tích một biến
• chuỗi lũy thừa
• các phép toán
• chuỗi Taylor
• tích phân chuỗi lũy thừa
• vi phân tích lũy thừa
• Giải tích I
• Phép tính vi phân
• Vi pahan hàm một biến
• Tích phân hàm một biến
• Tích phân bất định
• Tích phân xác định
• Hàm nhiều biến số
• Hàm số một biến số
• Hàm khả vi
• Đạo hàm và vi phân
• Bài giảng Giải tích B1
• Giải tích B1
• Phép tính tích phân hàm một biến
• Tích phân suy rộng
• Bài giảng Giải tích
• Bài giảng Giải tích I
• Phép tính vi phân hàm một biến số
• Phép tính tích phân hàm một biến số
• Tích phân kép
• Giải tích
• Phép tính vi phân hàm một biến
• Phép tính vi phân hàm nhiều biến
• Định lí Lagrange
• Công thức khai triển Maclaurin
• Bài tập giải tích
• Hàm một biến
• Hàm nhiều biến
• Lý thuyết giới hạn
• Tôpô và hàm liên tục
• Đạo hàm
• Vi phân của hàm một biến
• Hàm khả vi trên Pn
• Giải tích 1
• Giáo trình Giải tích 1
• Đường thẳng thực
• Hàm một biến thực
• Liên tục của hàm một biến thực
• Bài giảng Giải tích cao cấp
• Giải tích cao cấp
• Đạo hàm một biến
• Vi phân hàm một biến
• Đề cương môn Giải tích
• Ứng dụng giải tích
• Phép tính vi phân hàm nhiều biến số
• Bài giảng Giải tích 1
• Phép tính tích phân một biến số
• Phép tính tích phân
• Tích phân một biến số
• Hàm số nhiều biến số
• Bài toán hàm số
• Giáo trình Giải tích
• Lý thuyết giải tích
• Đạo hàm của một biến số
• Đạo hàm riêng của hàm số
• Lời giải bài tập Giải tích 1
• Bài tập Giải tích 1
• Hàm một biến số
• Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số
• Giải tích hàm nhiều biến số
• Tích phân đường loại một
• Tích phân đường loại hai
• Phương trình vi phân
• Hệ phương trình vi phân
• sổ tay toán học
• phương pháp dạy học toán
• bài tập toán
• tích phân
• biến số
• giải tích số
• Giáo trình Giải tích I
• Hàm số một biến
• Bài tập tích phân
• giới hạn hàm số
• vi phân
• khảo sát hàm số nhiều biến
• sự phụ thuộc biến số
• toán giải tích
• Giải tích 2
• Bài tập Giải tích Toán học
• vi phân hàm số một biến số
• Tích phân hàm số một biến số
• Chuỗi số và chuỗi hàm số
• Giáo trình Giải tích thực và đại số tuyến tính
• Giải tích thực
• Đại số tuyến tính
• Hàm số liên tục
• Hệ phương trình tuyến tính
• Bài giảng Tóm tắt giải tích B
• Tóm tắt giải tích B
• Giải tích B
• Giải tích hàm một biến số
• Giới hạn của dãy số
• Chuỗi số và chuỗi hàm
• Bài tập giải sẵn giải tích I
• Giới hạn của dãy số thực