tailieunhanh - Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 11

Tham khảo tài liệu 'kỳ thi olympic truyền thống tại tp huế môn toán 11', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 4 LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài 180 phút Chú ý Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt Câu 1 4 điểm . Giải hệ phương trình sau ỉ. . . 3log3 x 2y 6 2log2 x y 2 1 Câu 2 4 điểm . Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng d và số đo của nhị diện B SC D bằng 1500. Tính thể tích của hình chóp đều theo d. Câu 3 4 điểm . Cho dãy số dương an . a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k k . 1 í 43 k 1 ì k k 1 2a1 2 a2 3 3 . kk-1 ak b. Biết lim2ai ae R. Đặt bn a1 Ja1a2 a1a2a3 . n với n 1 n i 1 Chứng minh rằng dãy bn có giới hạn. Câu 4 4 điểm . Cho hàm số f x 2x - sinx. Chứng minh rằng tồn tại hằng số b và các hàm số g h thoả mãn đồng thời các điều kiện sau 1 g x bx h x với mọi số thực x. 2 h x là hàm số tuần hoàn. 3 f g x x với mọi số thực x. Câu 5 4 điểm . Tìm tất cả các số tự nhiên m n sao cho đẳng thức sau đúng 8m 2m n 2n-1 2n-2 --------------Hết---------------- Ghi chú Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 11 NỘI DUNG ĐIÊM Câu 1 Giải hệ phương trình k-2 . 1 y2 1 3log3 x 2 y 6 2log2 x y 2 1 2 Đk x 2y 6 0 và x y 2 0 0 5 Phương trình 1 y2 - x2 ln x2 1 - ln y2 1 ln x2 1 x2 1 ln y2 1 y2 1 3 Xét hàm số f t lnt t với t 1 Phương trình 3 có dạng f x2 1 f y2 1 4 Ta có f t đồng biến trên 1 . Do đó 4 x2 1 y2 1 x y 1 Với x -y từ 2 ta được log3 6 - x 1 với x 6 x 3 y -3 thỏa mãn hệ Với x y từ 2 ta được3log3 x 2 2log2 x 1 với x -1 . . í x 2 32u Đặt 3log3 x 2 2log2 x 1 6u x 1 2 1 23u 32u jì 8Ì 1 5 19 9 18 Xét g u 1 9 1 1 9 1 g u là hàm nghịch biến trên R và có g 1 1 nên u 1 là nghiệm duy nhất của 5 . Với u 1 suy ra x y 7 thỏa mãn hệ 1 Vậy hệ có 2 nghiệm 3 -3 7 7 NỘI DUNG ĐIÊM Câu 2 Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng d và số đo của nhị diện B SC D bằng 1500. Tính thể tích của hình chóp đều theo d. Ta có BD X SC . Dựng mặt phẳng qua BD vuông góc với SC tai P. Ta có ZBPD 1500 1 m 2BP2 - BD2 BD2 _ Ta có cos1500 1 - 1 2BP2 2BP2 Gọi M là