tailieunhanh - Phương pháp tính với C++ - Chương 6

Tài liệu tham khảo giáo trình Phương pháp tính với C++ - Chương 6 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định | CHƯƠNG 6 TÍNH GẦN đúng đạo hàm và tích PHÂN XÁC ĐỊNH 1. ĐẠO HÀM ROMBERG Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suy để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao. Ta xét khai triển Taylor của hàm f x tại x h và x - h f x h f x hf x h í x f x h4f 4 x 1 2 3 4 f x - h f x - hf x f - h3f x h4f 4 x - 2 2 3 4 Trừ 1 cho 2 ta có f x h -f x-h 2hf x 2h f x 2h5f 5 x 3 5 Như vậy rút ra f x h - f x - h - hịf- x - hif 5 x - 2h 3 5 - a4h4 - a6h6-- h2 h4 h6 a6 _ 6 64 hay ta có thể viết lại f x -L f x h - f x - h ạh2 a4h4 a6h6 2hL J 2 4 6 trong đó các hệ sô ai phụ thuộc f và x. Ta đặt 9 h 2- f x h - f x - h 2h Như vậy từ 5 và 6 ta có D 1 1 9 h f x - a2h2 _ h A . D 2 1 9 h f x - a - - a V 2 7 4 và tổng quát với hi h 2i-1 ta có D i 1 9 hi f x - a2h 2 - a4h4 - a6h6 Ta tạo ra sai phân D 1 1 - 4D 2 1 và có 7h3 3 . 15 9 h - 49 h -3f x - 3a4h4 - 5 .17 V 2 7 4 16 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 416 r h A V 2 7 Chia hai vế của 10 cho -3 ta nhận được ox_ 4D 2 1 -D 1 1 . .. 5 6 D 2 2 ---- ----- f x am4 - am6 v 4 v 4 4 16 6 Trong khi D 1 1 và D 2 1 sai khác f x phụ thuộc vào h2 thì D 2 2 sai khác f x phụ thuộc vào h4 . Bây giờ ta lại chia đôi bước h và nhận được 158 1 fhA4 5 fhA6 D 3 2 f x 1a4 h Aa6 4 V 2 J 16 V 2 J và khử số hạng có h4 bằng cách tạo ra 15 D 2 3 - 16D 3 2 -15f x 77 a6h6 64 Chia hai vế của 13 cho -15 ta có 16d 3 2 - d 2 2 f - . ưw 15 1 x 64 a 6 12 13 14 Với lần tính này sai số của đạo hàm chỉ còn phụ thuộc vào h6. Lại tiếp tục chia đôi bước h và tính D 4 4 thì sai số phụ thuộc h8. Sơ đồ tính đạo hàm theo phương pháp Romberg là D 1 1 - D 2 1 D 2 2 D 3 1 D 3 2 D 3 3 D 4 1 D 4 2 D 4 3 D 4 4 trong đó mỗi giá trị sau là giá trị ngoại suy của giá trị trước đó ở hàng trên . Với 2 j i n ta có 4j-1D izj -1 - D i - 1 j -1 D i j 4j-1 -1 và giá trị khởi đầu là 1 D i j 9 hi J lt x hi - f x - hi 2h với hi h 2i-1 . Chúng ta ngừng lại khi hiệu giữa hai lầ n ngoại suy đạt độ chính xác yêu cầu. Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm f x x2 arctan x tại x 2 với bước tính h . Trị chính xác của