tailieunhanh - Khái niệm về ánh xạ tuyến tính

1. Định nghĩa: Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính (linear transformations) hay đồng cấu tuyến tính (homomorphism) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây: (L1): (L2) (tính bảo toàn phép cộng) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) | Khái niệm về ánh xạ tuyến tính 1. Định nghĩa Cho V và V là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Ánh xạ _ gọi là 1 ánh xạ tuyến tính linear transformations hay đồng cấu tuyến tính homomorphism nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây L1 1 tính bảo toàn phép cộng L2 tính bảo toàn phép nhân với vô hướng Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V. - Nhận xét Từ hai điều kiện trên dễ dàng nhận thấy rằng _ là ánh xạ tuyến tính 1 2. Tính chất Cho _ là ánh xạ tuyến tính V W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó 1. 2. -s - Chứng minh 1. Ta có Suy ra Mặt khác i. Do đó từ ta có i- i. 2. Ta có i. 3. Các ví dụ Ánh xạ hằng giá trị không 1 1 1. là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. Ánh xạ đồng nhất 1 1 là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất hay toán tử đồng nhất trên V. Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R x các đa thức thực một biến x. Phép lấy tích phân xác định là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C a b các hàm số thực liên tục trên a b đến không gian R. Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là là một phép biến đổi tuyến tính. 4. Tính chất Ánh xạ tích _ của 2 ánh xạ tuyến tính _ và _ lại là 1 ánh xạ tuyến tính. Qua một ánh xạ tuyến tính một hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính lại biến thành 1 hệ vec-tơ phụ thuộc tuyến tính. Nghĩa là là 1 ánh xạ tuyến tính và . là 1 hệ n vec-tơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ . cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính trong W. Ngược lại nếu hệ 1 12 . íJ .J là hệ độc lập tuyến tính trong W thì hệ . độc lập tuyến tính trong V. Chứng minh Do . phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại ít nhất một sao cho A 1 4- A2J 2 . V- Oy Suy ra i- i. Hay - . i. Vậy tồn tại ít nhất một sao cho xảy ra nên hệ phụ thuộc tuyến tính. Chú ý Ánh xạ tuyến tính có thể biến 1 hệ độc lập tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. lý cơ bản vê sự xác định ánh xạ