tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 2 part 10

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 2 part 10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Do dó ak í f x coskxdx k 1 2 . 7Ĩ J -It Để tính bk ta nhân hai vê của với sinkx rồi lấy tích phân hai vê của dẳng thức nhận được từ -Tỉ đến ít để ý đến các công thức ta được 7t 7t J f x sin kxdx bk J sin2 kxdx 7t -7t Do đó 1 ị bk íf x sinkxdx k l 2 . -7T Các hệ số a0 ap bị a2 b2 . an bn . được xác định theo các công thức được gọi là các hệ số Fourier cùa hàm sô f x . Chuỗi lượng giác trong đó các hệ số được xác định bởi được gọi là chuỗi Fourier của f x . Nếu f x là một hàm số chẩn thì f x coskx là chẵn còn f x sinkx là lẻ do đó ak jf x coskxdx bk 0 Vk e N 71 0 Cũng vậy nếu f x là một hàm sô lẻ thì f x coskx là lẻ còn f x sinkx là chẵn do đó 2 ak 0 bk f x sinkxdx Vk e N 71 0 Vấn đề còn lại bây giờ là xét xem với diều kiện nào chuỗi Fourier cùa hàm só f x hội tụ và có tổng bàng f x tức là với điều kiện nào hàm sô f x có thể khai triển thành chuỗi Fourier. 380 . Điểu kiện đủ để hàm số khơi triển được thánh chuỗi Fourier Địtỉh nghĩa. Hàm sô f a b R được gọi là liên tục từng khúc nếu có thể chia a b bởi một só hữu hạn điểm a - x0 Xị x- . xn b sao cho trên môi khoảng Xị_ Xị hàm sô f liên tục có giới hạn phải hữu hạn tại XH1 và giới hạn trái hữu hạn tại Xị. Nê u f biến thiên đơn diệu trên môi khoảng Xị_ I Xj ta nói rằng f đơn điệu từng khúc. Như vậy nếu f liên tục từng khúc hay nếu f đơn diệu từng khúc và bị chặn thì nó liên tục tại mọi điểm của a b trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1. Bớ đề ì. Nếu f a b R lâ một hàm sô liên tục từng khúc thì b b lim íf x cosaxdx 0 lim f x sinaxdx 0 a a J a a Chửng minh. Chỉ cần chứng minh bổ để này trong trường hợp f liên tục trên a b . Khi đó f bị chặn trên a b tức là tồn tại sỏ M 0 sao cho f x M Vx e a b . Ngoài ra f liên tục đểu trên a b tức là với mọi số e 0 cho trước tổn tại sô s 0 sao cho V x x e a b ix -x ô f x f x Ị E Chia đoạn a b bởi các điểm a x0 Xị . xn b sao cho xị - Xj_i I s i . Kht dó b n Xi 1 a f x cosaxdx I f x cosaxdx - a i l Xị i n Xj n