tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 2 part 9

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 2 part 9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 8 CHUỖI . Đại cương về chuối số . Định nghĩa Cho dãy sô Up u2 . un . Biểu thức U1 u2 . un . được gọi là chuổi 5ó và được kí hiệu là y1 un . Các số Up u2 . un . n I được gọi là các sô hạng của chuỗi só un với n tổng quát được gọi là số hạng tổng quát. Tổng n Sn uk Uị 4- u2 . un k 1 được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Nếu Sn dần tới một giới hạn 00 hữu hạn s khi n 00 ta nói rằng chuỗi sô y un hội tụ và có tổng s. n 1 Hiệu Rn s - Sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Nếu chuỗi sô 338 hội tụ thì Rn 0 khi n - 00. Nếu Sn không dần tới một giới hạn hữu hạn khi n - 00 ta nói rẳng chuối sô phân kỉ. 00 Ví dụ. Xét chuỗi số aq11 _ 1 với a 0. Đó là một cấp sô nhân n ỉ n _ I vô hạn có công bội q. Với q ỉ s a -----. n q-1 Nếu q 1 thì Ịq n - 0 khi n - co do đó s khi n co 1 -q vậy chuỗi số hội tụ và có tổng s - . 1-q Nếu q 1 thì q n - 00 khi n - co do đó Sn - co khi n - co vậy chuỗi sô phân kì. Nếu q 1 Sn na Sn co khi n - 00 chuổi số phân kì. Nếu q -1 chuỗi số có dạng a - a a - a . Vì sn - 0 khi n chẵn Sn a khi n lẻ Sn không dần đến một giới hạn hữu hạn khi n - 00 chuỗi sô phân kì. x- Tóm lại chuỗi sô aqn -1 hội tụ nếu q 1 phân kì nếu q 1. n I . Điều kiệu ắt cồ cùa chuỗi số hội tụ 00 Định lí . Nêỉt chuối số un hội tụ thỉ số hạng tổng quát un n 1 của nó dần tới 0 khi n 00. Thật vậy Sn Sn J un do đó un Sn - Sn _ Ị. Nếu chuỗi số hội tụ thì Sn với Sn _ j cùng dần tới một giới hạn hữu hạn khi n - 00 do đó un Sn - Sn _ Ị dần tới 0 khi n - 00. 339 Điều kiện un - 0 khi n - ro chỉ là điểu kiện ắt có chứ không là 00 00 I diều kiện đủ để chuỗi ỵ un hội tụ. Chẳng hạn xét chuỗi sô y n 1 n 1n được gọi là chuỗi điều hoà. Sô hạng tổng quát của nó un dần tới n 0 khi n - ro lìhưng chuối sô ấy phân kì. Thật vây S2n Sn - - . f . n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2 Nếu chuôi số hội tụ thì Sn và S2n cùng dần tới một giới hạn khi n ro tức là lim S2n - Sn ơ diều này mâu thuẫn với s2n - Sn - . n 00 2 Từ định lí trên suy ra rằng nếu un không dần tới 0 khi n - ro thì chuỗi QO ĩĩ -Ị- 1 sô