tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 2 part 6

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 2 part 6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CT r Mệnh đé 6 J. Nếu biết rằng Jg t dt G t c thì Jg w x w x dx G w x C trong đó các hàm sốg t w x w x đều được giả thiết là tthữiig hàm số liên tụcị. Quy tắc trên là hệ quả cùa quy tắc lấy vi phân một hàm số hợp định lí chương 4 G w x - G w x w x g wfx w x dx vì G t g t Mặt khác vì tính bất biến của vi phân xem chương 4 ta có dG t g t dt Bây giờ giả sử cần tính tích phân Jf x dx Trong nhiều trường hợp để tiện lợi la thường thực hiện phép đổi biến t w x và khi dó biểu thức dưới dấu tich phận trớ thành f x dx g w x w x dx với hi vọng rằng Jg t dt gần với tích phân cơ bản nào đó. Khi dó theo mệnh đề trên thay vì tính Jf x dx ta chỉ cần tính Jg t dt và có Jg t dt G t c Khi aó tìm được nguyên hàm G t chỉ cần thay t bời w x và ta có J f x dx J g t dt G w x c 211 Thí du. Trong tích phân I - Jsin3 xcosxdx ta dể ý d sinx - cosxdx nên đặt t sinx thì biểu thức dưới dấu tích phân trở thành sin xcosxdx sin xd sĩnx t dt và ft3dt t4 c do vậy I - sin3 xcosxdx Ậ sinx 4 c J 4 J 4 Chú ý. Trong một sô trường hợp ta lại thực hiện phép đổi biến X p t và ta dược f p t p t dt g t dl và khi đó biểu thức dưới dấu tích phân f x dx lại trở thành g t dt Sau dầy nêu thêm một số thí dụ a Trở lại những thí dụ ờ phẩn trước ta thấy ưong thí dụ d ta đã thực hiện phép đồi biến t 2x - 10 ưong e íà t X a trong g là t - y trong h là t - tg- trong i là t 1 - x trong t ex trong m t - a2 - x2dx vì muốn khử cân bậc hai ta thực hiện phép đổi biến X asint ở đây ta coi X biến thiên từ -a đến a còn t . . . K TC . 1 IS x X _ _ r biến thiên từ dên nghĩa là t arcsin và có 2 2 â acost dx acost di do đó 2 1 1 -t sin2t c L2 4 J 1 2 Ĩ2 __2 ĩ 1 cos2t ì I - a I cos tdt - a I -- di a J J V 2 212 . __ . a . I 1 2 2 Mặt khác sm2t asint. acost- xva -X 4 2 2 2 Cuối cùng Jx a2 - X2 dx - -xựa2 - X2 -arcsin c . T_ c dx . . dx c Tính I I - - đặt t Lnx dt CÓ J xlnx X I - J In t ị c Inlln xl c d Tính I i-c đặt t sinx dt cosxdx và f dt I - arctgt c arctgfsinx c J 1 t2 e Tính 1 r J X2 4-a2 2 Thực hiện phép đối biến X