tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 2 part 5

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 2 part 5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | b Bát đầng thức VC sô trung hình. Cho Sị 0 i 1 n đặt l 1 n n V ỊỊa k l lk l 7 Khi đó . r tức là trung hình nhân CÚC sô không âm không vượt qitứ trung bình cộng của chúng. Chứng minh. . . . . _ 1 Xét hàm f x - -inx X e 1 00 hiến nhiên í là lồi vì f x - 0 X n do đó có thể dừng bất dẳng thức Jensen và được với 1 k l Xj e 0 1 i l n tức là n Ầk -lnak k 1 Đặc biệt lấy Zị . .n suy ra n . Ị fí . 169 i c Các bất đẳiỉg thức Holder và Minkowski 1 1 Cho p 1 q 1 sao cho 1. Khi đố p q 1 Cho X 0 y Ũ dùng bất đẳng thức với n 2 aj xp a2 yq Ài - À 2 - ta được xy xp yq p q p q Bất đảng thức này vẫn đúng khi X hoặc y bằng không. ii Bây giờ cho Xị y R i l n đặt 1 ỉ n n An - ẳw ẳlnr kk l . lk í J xk Với ab 0 dùng bất đắng thức có được ở phần i với X 2 1 a Ịykl . y - và được b l kYkl Jxkl N 1 ixklp Ị1 ỊykT k rỉ ab a b p áp q bq Suy ra 1 n 1 n I n I ũ ấMp ẳl r -ab k 1 pap k 1 qbq k 1 pap qbq 1 1 - - 1. p q Thay giá trị của a b vào bắt dẳng thức trên ta suy ra bất đẳng thức Holder dưới đây I 1 n n Ap n A7 ẳxkYk ẳixk p ẳN4 k l k l U 1 Đặc biệt khi p q 2 thì bất dẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. 170 iii Với cùng những kí hiệu như trên ta cũng có n n n ZJxk y lp-Elxdlxfc ydp EM k -yk p - k l k l k l Từ đó dùng bất đẳng thức Holder hai lần có thể chứng minh được bất dẳng thức Minkowski dưới đây L L L n V n V n p ẳh nl ÈMP ẳwp k 7 k l kk l . Sơ đồ khảo sá hàm sô Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự dưới đây 1 Miền xác định của f. 2 Chiểu biến thiẻn tìm khoảng tăng giảm của hàm số 3 Cực trị nếu có . 4 Tính lồi lõm nếu cần thiết điểm uốn nếu có . 5 Tiệm cận nếu có 6 Bảng biến thiên. 7 Vẽ đồ thị. Sau đây lấy một thí dụ cốt dể minh hoạ các bước khảo sát Xét hàm số f x J . V x-1 X3 X 1 Hàm số chỉ xác định khi ũ nghĩa là khi - 0 tức là x-1 X-1 X 0 hoặc X 1. Miển xác định Df là -00 0 u 1 co . 2 Muốn xét chiều biến thiên của hàm số phải tính f x . __ f 3 ĩ X Ta có f x X- J Y .