tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 2 part 4

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 2 part 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | _X _X _ y a y a Ina X ._X y e y e . 1 y logax y -5- xlna . _ 1 y Inx y X . 1 y arcsinx y 1 y arccosx y - L. Vl-X2 y arctgx y 1 X2 3 Đạo hám theo tham số. Cho X f t là một hàm số khả vi đối với t với t G ct P và y g t là một hàm khả vi đối với t với t e a p khi đó nếu hàm số ngược t f l x tồn tại và nếu f t 0 thì theo định lí về tính khả vi của hàm số ngược và tính kha VI của hàm số hợp có thể suy ra tính khả vi của hàm số y đối với X. Hơn nữa Thật vậy do tính bất biến của vì phân ta có dy g t dt và dx f t dt. Chia dy cho dx ta có ngay kết quả. Thí dụ. . z K ỉ 7U a Xét hàm sô X acost y asint te I 0 2 dy acost Khi đó -7- -cotgt. dx -asint 127 b Xét hàm sô X a t - sint y a l - cost t e 0 2iĩ . _ t t 2sin cos . dỵ asint 2 2 t Khi đó 7 ------- . cotg77 dx a l-cost 2sin2 2 . Đạo hàm một phía đạo hàm vô cùng Trên kia trong nhân két 2 chúng ta đã nói rằng về mặt hình học khi hàm số f x khả vi tại X thì dồ thị của nó có một tiếp tuyến duy nhất khõng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ là X. Bây giờ ta xét trường hợp đồ thị của f x có những điểm góc tại những diểm góc đó đổ thị nhận hai tiếp tuyến tiếp tuyến phải và tiếp tuyến trái hình và trường hợp đồ thị có tiếp tuyến song song với trục tung hình . Hiển nhiên tại những điểm như thế hàm số không khả vi nữa nhưng có thể mở rộng khái niệm đạo hàm như đã làm khi nói về giới hạn trái và giới hạn phải và ta có các định nghĩa Hình Hìttk f . f x -f c f_ c lim - 12 X c-0 X c f_ c được gọi là dạo hàm trái của f x tại X c và f x -f c f c lim - X c 0 X c 4 c được gọi là đạo hàm phải cùa f x tại X c. 128 Hình Thí dụ. Xét f x Ixl xem hình ta có 4 0 -l và 4 0 1. Tại điểm X 0 đồ thì cùa hàm số có hai tiếp tuyến trái và phải. Cũng có thể suy ra f x khả vi tại X c khi và chỉ khi 4 c 4 c __ . f x -f c _ Trường hợp khi lim - 00 hoặc -00 . X 0 X - c thì ta nói rằng tại điểm X c f x có đạo hàm vò cùng và tiếp tuyến của đồ thị f x tại X c vuông góc với trục hoành. . Đạo hàm và vi