tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 1 part 10

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 1 part 10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Thí dụ . Xét dạng toàn phương ở thí dụ . Nó có ma trận A- 5-2 -2 8 Do đó -2 8 36 0. Vậy dạng toàn phương có dạng chính tắc Muốn tìm công thức đổi biến ta phải xác định các vectơ cơ sờ mới fv f2 . Ta dựa vào . Ta có A Ị 0 A a2ì a22 e2 a21 a22 Để xác định ta viết theo khi k 1 Q fỵ 1 5ơị 1 1 1 j 0 Để xác định 21 và 22 ta vi t eo khi k - 2 Ổ í2 i 0. Q f2 e2 l tức là ữị J a2ỉ ữj2 a22 0 a21 a22 a22 1 Do đó 5oí21 2of22 0 -2a21 8a22 1 361 Ta suy ra a21 1 18 và 22 5 36. Vậy Ĩ2 18 36 Vậy công thức đổi biến là _ ì 5 1 18 ìl 2. 0 5 36 Một hệ quả cùa định lí là phần đẩu của định lí sau Định lí . Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi 4 0 l i i Chứng minh. Điều kiện là điều kiên đủ vì đó là hệ quả của dạng chính tắc . Muốn chứng minh là điều kiện cần trước hết ta chứng minh Ạ. 7 0 Vi. Giả sử . eị Q . 2 Q eì ei Q e2 et Q e2 e2 . Q e2 gị Cị Q Cị c2 . Q eịtei Lúc đó tồn tại f hằng số Cị không đồng thời bằng không để C Q eỉ ei c2 Q e2 et . c Qịe e 0 Q ct ep Ể- . Q c2 e2 Cị . Q Cị Ếị Cị 0 Q cỵ Cj c2 e2 . c. e 0 8 cị c2 e2 . Cị e. Cj c2 e2 . CịCị 0 Cj c2 e2 . Cị Cị 0 Điều đó mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của ej . . 362 Bây giờ nếu có một số Aị 0 thì trong các hệ sô của dạng chính tắc vừa có hệ số âm vừa có hê số dương. Do đó nếu chọn . như sau 0 khi hê số của C dương 11 khi hẹ số của ặị âm Với ặ Ép 2 . ỉít chọn như vậy ta sẽ thấy Ổ 0. Điều này mâu thuẫn với Q x x xác định dương. Vậy không thể có Ạ 0 cho nên cũng là điểu kiên cần để Q xt x xác định dương. Thỉ dụ . Dạng toàn phương ở thí dụ có Ạ 5 0 A 36 0 nên là dạng toàn phương xác định dương. . Phương pháp Lagrange Trong cơ sờ s của không gian hữu hạn chiều Vn xét dạng toàn phương ỔUx X .x .xy ớjy Oự. M í Giả sừ 0. Ta nhóm các số hạng chứa Q ữI 1 x 2o12 X1 x2 - 2đl 1 XH - ann 4 Do đó 1 2 Ổ 77ÍOHJrl O12x2 - ol X ốr all trong đó Qị khồng chứa nữa. Đặt 1 ữllXj