tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 1 part 6

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 1 part 6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Thí dụ .6. Theo kết quả ở thí dụ thì tập p các đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng 2 là một không gian vectơ. Bây giờ xét Pl các s I 2 _ _ đa thức có bậc băng 2 A p I p aữ aỊl ữ2r a2 0 . Ta thử lấy - 9 _ p ỉ 2r t 6 p2 q 2 - 3t -t1 e P2 thì thấy p q 3-t g Pl Như vậy liên đề 1 không thoà mãn do đó P2 không phải là một không gian vectơ. Thí dụ . Gọi X 1 là tập các ma trận cỡ m X n với hai phép tính cộng ma trận và nhân ma trận vởi một sô thực đã định nghĩa ở và . Dễ thấy rằng cả 10 tiên đề 1 10 đều thoả mãn bạn đọc kiểm tra lại . Vậy .díin X ỊỊ là một không gian vectơ. . Một sô tính chất đầu tiên của không gian vectơ Bất kì không gian vectơ nào cũng có tính chất sau Định lí . a Phần tử trung hoà 0 là duy nhất. b Phần từ đối xứng của bất kì X nào thuộc V cũng là duy nhất. c e V ta đều có h 0. d e V ta đều có -X l x. e VU e R ta dều có kỡ 0. f với X e V và k e R ta có 201 03 t Nếu kx 3 thì hoặc k 0 hoặc X 3. Chứtig minh Hai tính chất a và b suy từ khẳng định ở chú ý nói rằng V là một nhóm. Để chứng minh c ta viết 3 Ox Ox 0 0 x h rồi giản ước 3 Ox Để chứng minh d ta viết x -l x lx -l x 1 -ì x 0x 3 và -l x X 3 Suy ra -l x là vectơ đối của X tức là -X. Để chứng minh e ta viết 03 3 Suy ra kớ k O0 ớ 03 3. Để chửng minh f ta giả sử kx ớ. Nếu k 0 thì Ox ớ theo c Nếu k 0 thì tồn tại k 1. Do đó có k kx k ỉ3 k lk x 3 X 3 Vậy nếu kx 3 thì hoặc k 0 hoặc X 3. 202 chú ý Bây giờ la có thể định nghía phép trừ A-y x -y Khi đó ta có x y x y ớ. Chú ý . Các tính chất a - f ờ định lí đúng trong mọi không gian vectơ cụ thể ta có kết luận ấy mà không cần phải kiểm tra lại trên từng không gian cụ thể vì ta đã chứng minh định lí với giả thiết V là một không gian vectơ bất kì thoả mãn 10 tiên đề của không gian vectơ . Đó là lợi ích của quan điểm tiên đề. BÀI TẬP . . KHÔNG GIAN CON VÀ HỆ SINH . Định nghĩa không gian con Định nghĩa . V7 là mội không gian vectơ với hai phép tính cộng vectơ và nhân vectơ với .