tailieunhanh - Toán học cao cấp tập 3 part 4

Tham khảo tài liệu 'toán học cao cấp tập 3 part 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | oc Vì J g x dx hội tụ theo giả thiết nên V 0 3B 0 ặao a cho b B J g x dx số B chi phụ thuộc . Do đó b b oc I ĩ f x y dx I b đối với y E c E vậy tích phân suy rộhg hội tụ đéu d . Vỉ dụ Tích với y G R vì r cosxy phân suy rộng I ----r---- dx hội 0 1 x2 x - và tích phân f 77 hội tụ. 2 01 x tụ đều đổi cosxy l x2 y2 dx B Tính chắt của tích phân suy rộng hội tụ dểu Định lỉ . Nếu hàm số fix y liên tục trên a 00 ý X c d và nếu tích phấn suy rộng hội tụ dều dối với y e c d thì I y ỉầ một hàm sồ liên tục trên c d . Thật vậy lấy y E c d cho nó một số gia h sao cho y h G c d . Ta có 00 I y h - I y J f x y h - f xy l dx a J f x y h - f x y dx J f x y h dx - f f x y dx. a b b Đặt Ip I2 I3 lần lượt là ba tích phân ở vế phải. Th có iI y h - I y I ịlj I21 I3 . Vỉ tích phân suy rộng hội tụ đều đối vói y G c d nên Ve 0 B 0 số B chỉ phụ thuộc E sao cho b B 11 I và I L điều này đúng với mọi h khá nhỏ. Với b 5 3 z 3 b đã xác định trên J f x y dx là một tích phân xác định phụ a 86 thuộc tham số y. Theo định H tích phân ấy là một hàm số liên tục đối với y vì vậy 3 5 0 sao cho I hj ỗ Ịlịl 3 T5m lại .I y h - I y í E nếu I h ỗ vậy I y liên tục trên c d . Định lí . Nếu hàm sổ f x y liên tục trên a x X c d và nếu tích ĩ hăn suy rộng hội tụ đèu dối với y e c d thì tà có d oo d J I y dy J ự f x y dyj dx c a c định lí lấy tích phân dưới dấu tích phân . Chứng minh. Ta có V b a d d b d j-oo f I y dy f ựf x y dx dy J J f x y dx dy. c ca c b Nhưng theo định lí ta có d b b d ĩ ự f x y dx dy J Ự f x y dy dx . ca a c Do đó I J I y dy - f Ự f x y dyj đx J I J f x y dx dy. c a c c b Vĩ tích phân suy rộng hộí tụ đêu đốỉ với y e c d nên Ve õ 3 B 0 số B chỉ phụ thuộc E sao cho b B i J f x y dx d _ c Vy c d b J Ị J f x y dx dy E. c b 87 _ d b d Như vậy b B Jl y dy J J f x y dyjdx đảng c a c thức đã được chứng minh. Định lí . Già sủ f x y xãc định trên a co X c d sao cho hàm số f x ỵ liên tục dối vói X trên a vói mọi y không dối thuộc c d và f x y liên tục trên a oo