tailieunhanh - Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản - NGUYÊN LÝ DIRICHLET_2

Tham khảo bài viết 'chương 1: một vài nguyên lí cơ bản - nguyên lý dirichlet_2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 1 Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bây giờ ta chứng minh tiếp rằng 4n-1 2a 6 Thật vậy cộng 4n - 1 2 - 2a 4n - 1 vào hai vế của 3 thì ta được 4n - 1 m - 2a 4n - 1 - 1 a - 4n - 1 2 Hay là 4n m - 2a 4n - 1 - m - 2a 4n - 1 1 a - 4n - 1 2 Do đó z a 4n 1 thỏa mãn 2 với y n x m - 2a 4n - 1 Vì vậy theo sự xác định của số a ta côư a 4n 1 từ đây dễ dàng suy ra được 6 . Từ 3 5 6 ta cô a2 1 4n - 1 m 2a . a 2a2 . Do đó a2 1. Vô lí suy ra điều phải chứng minh. Giả sử 1 có nghiệm trong các số tự nhiên x y z và giả sử a là số tự nhiên nhỏ nhất của z thỏa mãn 1 sao cho ta có 4mn - m - n a2 7 trong đó m và n là các số tự nhiên. Nhân hai vế của 7 cho 4 và biến đổi ta được 4m - 1 . 4n - 1 - 1 4a2 8 Cộng 4 4n - 1 2 - 8a 4n - 1 vào hai vế của 8 ta có 4m - 1 - 8a 4 4n - 1 . 4n - 1 - 1 4 a - 4n 1 2 9 Đẳng thức 9 giống đẳng thức 8 cho thấy rằng phương trình 1 có nghiệm là z a - 4n 1 . Theo sự xác định số a thì a a 4n 1 hay a2 a 4n l 2 do đó từ 8 và 9 ta có 4m 1 8a 4 4n 1 . 4n 1 4n 1 4m 1 Vì vậy 4n 1 2a. Vì 7 là đối xứng với m và n nên lí luận tương tự thì ta cũng được 4m 1 2a. Đặt 4m 2a p 1 4n 1 2a q trong đó p và q là những số tự nhiên. Như vậy 4m 1 4n 1 4a2 2a p q pq. Do đó từ 8 ta suy ra 2a p q pq 1 với a p q là những số tự nhiên. Điều này vô lý với chứng minh định lý đã cho. Nguyên lý xuống thang trong hình học Ví dụ 1 CMR với 3 n 4 không tồn tại đa giác đều n cạnh có đỉnh với tọa độ nguyên. HD Với n 3 ta sẽ chỉ ra không có tam giác đều đỉnh nguyên. Thật vậy giả sử nếu có thì khi tính diện tích theo định thức thì ta được diện tích là một số hữu tỷ. Ttrong khi đó cạnh của tam giác là a thì diện tích tam 1 1 7 V3 V .1 giác đó là a -Ỵ- lại là đại lượng vô tỷ mâu thuẫn . Mặt khác nếu tồn tại một lục giác đều đỉnh nguyên thì tam giác đều đan nó cũng đỉnh nguyên. Do đó theo chứng minh vừa rồi thì nó không tồn tại. Vậy với n 3 6 thì nhận định là xét các trường hợp còn lại. Giả sử tồn tại đa giác đều đỉnh nguyên A1 A2 . An với n khác 3 4 6 là một đa giác đều đỉnh .