tailieunhanh - Tìm giới hạn dãy tổng

Tham khảo tài liệu 'tìm giới hạn dãy tổng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | http BIẾN ĐỔI KHAI TRIỂN VÀ ước Lược ĐẺ TÌM GIỚI HẠN DÃy TỔNG laisac biên soạn Trong các kì thi Oluympic HSG ta thường thấy có nhiều bài toán tìm giới hạn dãy tổng. Đôi lúc để giải được dạng này ta phải biến đổi từ điều kiện giả thiết đã cho của dãy từ đó khai triển và ước lược để đưa về dãy tổng cần tìm đơn giản hơn ta có thể tính được giới hạn của nó . Dưới đây là các bài toán của tác giả và sưu tầm lấy từ tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ để minh họa cho chuyên đề này. Bàì l Xét dãy số xn n 1 2 3. được xác định bỡi x1 2 và xn 1 2 x2n 1 với mọi n 1 2 3. Đặt Sn ĩ x x r xn. Tính phần nguyên của S2009 và tính giới hạn của Sn khi n tăng lên vô hạn. HD Ta có thể tổng quát bài toán như sau U1 a U2n b c un c2 Un 1 ĩ b c n 1 1 1 Tính chứng minh Sn 2 ----------- i 1 Ui b U1 c Un 1 c U2n Thật vậy ta biến đổi Un 1 -n- U2 b c Un bc Un 1 c ----------------- b c 1 1 1 - b c Un c2 b c Un b Un c b c 11 Un 1 c Un c Un b Un b Un c Un 1 c Khai triển và ước lược dãy 1 1 1 1 U1 b U1 c U2 c 1 1 1 U2 b U2 c U3 c 11 1 Un b Un c Un 1 c z _ 1 1 Do đó Sn --- ------- U1 c Un 1 c Vận dụng Ta có thể giải bài toán trên bằng phép biến đổi này b 1 c -1 Khi đó UT I 1 ŨT 1 Mà Un 1 Un 2 Un 1 2 0 CII E N Un là dãy tăng 2 U1 U2 U3 . Giả sử limUn a a 2 2a a2 1 a 1 vô lí Vậy limUn X lim - 1 0 1 Do đó phần nguyên 2009 0 vì 0 ----- u2009 Bài 2 Cho dãy un thỏa mãn U1 20 2 I Un 1 un 1 1 và limSn 1 . Tính lim . un 1 i 1 un HD Ta có un 1 un un 1 2 0 XI E N un là dãy tăng Giả sử un có giới hạn. Đặt limun Ta có L L2 L 1 L 1 vô lí limun X lim 0 Ta còn có un 1 un un 1 un 1 1 1 1 ----- un 1 Vậy un 1 un un 1 un 1 1 ------ --------- un 1 un 1 1 Khai triển và ước lược ta có 11 1 L L 2009 1 un un 1 un 1 1 u1 u1 1 u2 1 11 1 u2 u2 1 u3 1 .n 1 1 1 1 n s ui u 1 un 1 1 m n m 2009 1 un 1 1 2008 Bàì 3 Cho dãy số Xn n 1 2 3. được xác định như sau X1 1 và Xn 1 ựXn xn 1 xn 2 xn 3 1 với n 1 2 . n1 Đặt yn V n 1 2 . .Tính giới hạn của yn khi n dần đến vô tận. i 1 Xi 2 - HD Ta có Xn 1 x r 3Xn x2 3Xn 2 1 ỵ t t 2 1 ỵ t