tailieunhanh - Tuyển tập các bài bất đẳng thức hay

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập các bài bất đẳng thức hay', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | I. LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó yêu cầu óc quan sát linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức. Chính vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS . mà do chính người VN ta tìm ra. Để chứng minh bất đẳng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được. Nhưng liệu khi đi thi chúng ta có đủ thời gian để sử dụng chúng không Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳng thức co điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳng thức. Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc côsi AM-GM bunhia Cauchy - swarchz trong giải các bài bất đẳng thức đại số. Hai bất đẳng thức này tuy nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải dễ dàng. Tất cả được chỉ ra qua một lượng đáng kể những ví dụ đa dạng từ nhiều nguồn khác nhau đặc biệt là những kì thi Olympic toán hoặc trên những trang web. làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động. II. HAI BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM Cauchy - swarchz và ứng dụng. 1. Bất đẳng thức AM - GM. Với a1 a2. an là n số thực không âm ta có a1 a2 . an-1 an n Dấu a1 a2 . an Chứng minh bất đẳng thức này có khoảng hơn 40 cách nên xin dành lại cho bạn đọc. Bất đẳng thức này rất quen thuộc và ứng dụng lớn nên nó sẽ là bất đẳng thức đầu tiên mà các bạn cần nhớ và chú ý là dấu xảy ra khi a1 a2 . an-1 an. 2. Bất đẳng thức Cauchy - swarchz cs Với hai dãy số thực tùy ý a1 a2 . an và b1 b2 bn ta luôn có 1 a2 a22 . a b2 b22 . b2 aibi a2 b2 .anbn 2 Dấu J số k sao cho aj Với J 1 n Hệ quả dạng cộng mẫu số a2 a2 a2 a a .a 2 A__- X - . - EJ 2 n Với xt 0 v 1 n x1 xn xn x x2. xn Bất đẳng thức này còn có tên gọi là Engel hay Swarchz. Chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách nhưng có một cách này các bạn nên nhớ 2 a a2 .an 2 b . b2 - a1b1 a2 b2 .anbn aJ aJbi i j 1 3. Ứng dụng. Bài toán 1 cho a b c o. CMR - - J- 3 BĐT Nesbit b c c a a b 2 Cách 1 BĐT _y -1 -A--1 _y -1