tailieunhanh - Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p2

Hệ quả 1 Cho h m f giải tích trên miền D. Kí hiệu Z(f) = {z ∈ D : f(z) = 0}. Khi đó Z(f) = D hoặc Z(f) có không quá đếm h m g(z) giải tích trong lân cận điểm a v g(a) = cm ≠ 0. Do đó ∃ ε 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), g(z) ≠ 0 Suy ra ∀ zn ∈ B(a, ε), f(zn) = (zn - a)mg(zn) ≠ 0! Điều n y mâu thuẫn với giả thiết. Vậy m(a) = + ∞ . Tức l ∀ z ∈ B(a, R), f(z) | ương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư 3 ỗ 0 V n N V z e D z - a ỗ un z - un a 3N Suy ra V z e D z - a ỗ S z - S a S z - Sn z XI Un z - Un a l S a - Sn a e k 0 Vậy hàm S z liên tục trên miền D. I 2. Tích phán từng từ Nếu V n G z un z liên tục trên đường cong r trơn từng khúc D nằm gọn trong miền D và X un z S z thì hàm S z cũng khả tích trên đường cong r. n 0 A r A X un z dz X jun z dz n 0 n 0 Ỳ r J Chứng minh Theo tính chất 1. hàm S z liên tục và r trơn từng khúc nên khả tích trên r. b Kí hiệu s T j I y t I dt. Do tính hội tụ đều a V 0 3 N 0 V n N V z e r S z - Sn z s T Suy ra n jS z dz - XjUn z dz j S z - Sn z dz r I k 0 r r D 3. Đao hàm từng từ Nếu V n e z un z giải tích trong miền D và X un z S z thì n 0 hàm S z cũng giải tích trong miền D. w D V k e z X u nk z S k z n 0 Chứng minh Với mọi z e D 3 B z R c D. Kí hiệu r dB và G D - B z R 2 khi đó un Z G S Z V n e z yZ giải tích trong G và X z - z n 0 Sử dụng công thức và công thức S z X un z X ju. íZ dZ -L j-S ldZ n 0 2ni n 0 r z - z 2ni r z - z z-z z-z r Theo định lý về tích phân Cauchy hàm S z giải tích trong miền D và do đó có đạo hàm mọi cấp trên miền D. Kết hợp công thức và công thức V k z S k z A r S z 2nij Z- z k 1 dZ ễ Ồ- h ZL s n 02ni r Z- z k 1 dz X unk z n 0 Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng 4. Xác đinh trên biên Nếu V n e z un z liên tục trên miền D giải tích trong miền D 3d D và 2 Un z S z thì 2 Un z S z . n 0 n 0 Chứng minh Theo nguyên lý cực đại nn V z e D 3 a e dD S z - 2uk z S a - 2uk a w k 0 k 0 Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức Chuỗi hàm phức 2 cn z - a n c0 c1 z - a . cn z - a n . n 0 gọi là chuỗi luỹ thừa tâm tại điểm a. Đinh lý Abel Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại điểm z0 a thì nó hội tụ tuyệt đối và đều trong mọi hình tròn B a p với p z0 - a . Chứng minh Do chuỗi số phức 2 cn z0 - a n hội tụ nên n 0 lim cn z0 - a n 0. Suy ra n 3 M 0 sao cho V n e z cn z0 - a n M Với mọi z e B a p đặt q z - a z0 - a 1 ta có n z - a V n e z V z e B a p cn z - a n cn z0 - a n z0 - a .