tailieunhanh - Bài toán chứng minh

Tham khảo tài liệu 'bài toán chứng minh', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | BÀI TOÁN CHỨNG MINH 85. Cho a 0 và f x là một hàm chẵn xác định và liên tục trên R. Chứng minh rằng với mọi X 6 R ta đều có Hướng dấh Đặt z - t dt fít Chứng minh f t dt f t dt GIẤI Đặt z - t dt - dz ta có p f t dt _ rx f -z -dz _ I azf z dz _ p a f t dt Txal 1 a x l x l az k a l p a l-ljf t dt p t_ p f t dt Xx a1 1 J-x Xx a1 1 o f t dt f t d t J x al 1 2ƯX J Xem tích phân I x f t đt Đặt u - t I f u -du f u du f t dt Do đó ta có - - . 2 f t dt f t dt a I X Vậy Với giả thiết đã cho ta có at ị 1 1 -------------------------------- ------------------------V _ . s 1- xndx 86. Chứng minh rằng JinỊ 0 X----------------------------- - ------------------------ Hướng dâh V X G 0 l ta có nhận xét gì về nhị thức 1 x XQ So sánh biểu thức và nn với X e 0 1 GIẢI Với mọi X e 0 ta có 1 X 1 1 x 0 xn 0 1 . Y xn l x 1 x Jx _x. A _ r 1 2 x dx _ . X0 1 I 1 Do đó ta co 0 I - -7 I xdx - n M dx n 4-1 10 114-1 Suy ra 0 lim f1 d Iim L__ - 0 x- x 1 X - n 4-1 f1 xDdx - n Vậy lim I ---- 0 1 X 87. Cho In xn Vl - xdx n 6 N 1. Chứng minh ráng In 1 --In 2n 4- 2. Chứng minh rằng In ----- I - n l vn l _ Hướng dán 1. Dùng phương pháp tích phân từng phần. Tính IIW1 bằng cách chọn u xn 1 dv Vl-xdx Suy ra hệ thức phải tìm. Tính In 2. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 2n và 2n 4- 2 _ 1 1 suy ra răng . - ----- ự2 2n 2 2n 1 Từ đó ta có đpcm GIẢI 1. Xem tích phân In 1 xn 1Vl - xdx Chọn u X0 1 dv V1 - xdx du n 4- l xndx V f 1 - x Vl - X 3 - x 1 l-x Vr 2 n - í xn l-x VT Tdx 3 3 2 n- í r xýl-x - xn 1 Vl-x ìdx 3 ẲiL J 2 n 1 3 I 2n 2 J 2n 5 Vậy I . I 3 wl 2n 5 2 Do đó ta CÓ I - 2n 3 . _ 2 n -1 - In- 2 71 -2 T _ 2 n - 2 . In-2 2 1 13 l2 11 J 2n 2 n - 1 2 n - 2 64 2 2 2n 3 2n 1 2n -1 9 7 5 3 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có o 2n 2n 2 _ 5 Ợ2n 2n 2 ----------- 2n 1 _JL_ ự2n 2n 2 2n 1 VA Í. 2n 2n Do đó ta có - ---- 2n 3 V 2n 4 2n 2 2 n - 1 2 n-l 2n 1 ự 2n 2 2n 2 n - 2 2 n - 2 2n -1 Ợ2n 2n - 2 9 .