tailieunhanh - Phương trình toán lý part 8

Tham khảo tài liệu 'phương trình toán lý part 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | sẽ có từng cặp giống nhau về giá trị tuyệt đối nhưng ngược nhau về dấu nên ta chỉ xét các nghiệm dương. Giả sử k 2 trong đó HpM-y là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình Jv x 0. Suy ra dx - 0 i it j. u Thật vậy giả sử k với p là nghiệm dương của phương trình Jv x 0. Trong công thức thay - k cho k- k và coi k2 như là biến số ta có 0 2 K Khi k vế phải có dạng bất định . áp dụng quy tắc L Hopital ta có d r lim kị-k2 lim 1 14 Ị- k . 2 v 7 2ẳ2 r2 Vậy ũ Ta có Như vậy công thức có dạng 2 X 7 L 0 V - Do đó ta có công thức trực giao . X X ỉ T Ị X ì I X x7 u LL dx T s với p và p là nghiệm dương của phượng trình Jv x o. 0 246 2. Tinh chất trực giao thứ hai của hàm Bessel Neu cho điều kiện aj x ịw x o V -1 p L-UI ai b n 0 X p p. J CÓ p là nghiệm dương của phương trình trên thỉ giả sử k Ẳ2 trong đó là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình tức là OƯ pjt Zj Al O aJv k2L pfc2Z. k2L 0. Nhân phương trình trên với Jr k2L và phương trình dưới với Jv k L rồi trừ cho nhau ta thu được klJlv klL Jv k2L -k2J r k2L Jv kĩL Ồ. Khi kt k2i JxJv kỴx Jv k2x dx ả 2ă ẵ2Z 0. 0 Trong trường hợp này ta cũng có tính trực giao của các hàm Bessel F X r ot Chú ý răng nêu V -1 và V 0 thì nghiệm cùa phương trinh là thực. Giả sừ k - y trong đó Ị1 là nghiêm của phương trình theo công thức ta đặt kị k cho k2 k và coi k2 như là biển số ta cỏ 0 k2 k Khi k2 - k vế phải có dạng bất định áp dụng quy tắc L Hopital ta có 247 Theo phương trình Bessel J p Z h 1-4h. h 0- Nhân phương trình trên với pJv p ta được MÁ mVv m mR m M - Như vậy công thức có dạng M Từ phương trình suy ra Thay ngược lên trên ta có công thức trực giao 0 i j ỉĩ _ a2-p H 2 í. m M M . frnsv 6. KHAI TRIẾN MỘT HÀM TÙY Ý VÀO CÁC HÀM BESSEL Hãy tìm hệ số khai triển một hàm tuỳ ý vào chuỗi của các hàm Bessel X I p Ỷ I ưên đoạn 0 X L trong 2 trường hợp a p i-1 2 . là nghiệm cùa phương trình Jv x o. b Pj i 1 2 . là nghiệm của phương trình aJự x pxJ x 0. Xì . Ẫ T Ỷ I trực giao .