tailieunhanh - Hình học cao cấp part 9

Tham khảo tài liệu 'hình học cao cấp part 9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 9. cực VÀ SIÊU PHẲNG Đối cực ĐỐI VỚI MỘT SIÊU MẶT BẬC HAI NGHĨA Trong pn với mục tiêu xạ ảnh cho trước cho siêu mặt bậc hai S có phương trình n 1 x A x aijXiXj O 1 ĩ j i và một điểm u có tọa độ ui U2 un 1 . Ta hãy xét phương trình M A X Xaijuixj 0 2 i j i nếu n 1 hệ số a Uị với j 1 2 . n 1 không đồng thời băng 0 ị i n 1 thì phương trình ajjUjXj 01à phương trình của một siêu lj i phẳng p. Khi đó siêu phẳng p gọi là siêu phẳng đối cực của điểm u đối với siêu mặt bậc hai S còn điểm u gọi là điềm cực hay cực điểm của siêu phẳng p đối với siêu mặt bậc hai S . Thí dụ. Cho đường bậc hai S trong p2 đối với một mục tiêu cho trước có phương trình 2x2 x2 - 2x3 - 6x 2 4x2x3 0 và điểm u có tọa độ 2 -1 5 . Hãy tìm siêu phẳng đối cực của điểm u đối với đường bậc hai S đã cho. Giải Ta có thể viết phương trình của đường bậc hai S dưới dạng x A x 0 như sau 233 Do đó siêu phẳng đối dạng u A x 0 cực của U 2 -l 5 có phương trình hay 7X1 3 2 - 12X3 0 n 1 CHỨ Ý. Nếu n 1 hệ số với j 1 2 . n 1 đều bằng 0 i l thì điểm u được gọi là điểm đặc biệt của siêu mặt bậc hai S . Như vậy sẽ không có siêu phẳng đối cực đối với điểm đặc biệt của S vì không tồn tại phương trình của siêu phẳng đó. 2. TÍNH CHẤT a Nếu u U1 U2 . Un 1 là điểm đặc biệt của S thì S suy biến và điểm u e S n t Thật vây ta có aỊjUj 0 với mọi j 1 2 . n 1. Vì các Uj i-1 không đồng thời bằng 0 nên hệ phương trình n 1 a Uị -0 j 1 2 . n 1. i l có nghiệm không tầm thường tức là det aịj 0. Do đó siêu mặt bậc hai S suy biến. Mặt khác nếu ta nhân phương trình thứ 1 thứ 2 . thứ n 1 của hệ phương trình trên lồn lượt với U1 Ua Un 1 rồi cộng các kết quả lại ta có 234 n 1 a UjUj 0 ij l Điều này chứng tỏ rằng điểm u ui u2 Un 1 thuộc siêu mặt bậc hai S . b Từ điều kết luận trên đây ta suy ra nếu siêu mặt bậc hai S không suy biến thì bất kì một điểm nào của không gian cũng có một siêu phẳng đối cực duy nhất đối với S . 3. ĐỊNH LÍ Nếu S là một siêu mặt bậc hai không suy biến thì bất kì siêu phảng nào của pn cũng có một điểm cực duy nhất .