tailieunhanh - Modum Cơ Sở Lý Thuyết Tập Hợp Và Logic Toán Phần 4

Đảo lại, ta có: c) Định lí Nếu | Đảo lại ta có c Định lí Nếu là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp X thì quan hệ hai ngôi trên X xác định bởi x y khi và chỉ khi x y hoặc x y là một quan hệ thứ tự trên X. Chứng minh Từ định nghĩa của quan hệ suy ra rằng là một quan hệ phản xạ. Ta chứng minh là quan hệ bắc cầu. Thật vậy giả sử x y và y z. Khi đó x y hoặc x y và y z hoặc y z. Nếu x y và y z thì x z do đó x z. Nếu x y và y z thì x z do đó x z. Nếu x y và y z thì x z do đó x z. Cuối cùng nếu x y và y z thì x z do đó x z. là quan hệ phản đối xứng. Thật vậy giả sử x y và y x. Khi đó x y hoặc x y và y x hoặc y x. Hai điều kiện x y và y x loại trừ nhau vì nếu xảy ra đồng thời hai điều kiện này thì ta có x x điều này không thể vì là quan hệ đối phản xạ. Hai điều kiện x y và y x loại trừ lẫn nhau. Hai điều kiện x y và y x cũng loại trừ nhau. Do đó chỉ có thể xảy ra một trường hợp x y và y x. Như vậy các điều kiện x y và y x kéo theo x y. Giả sử là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X và x y là hai phần tử của X. T a nói rằng x đứng trước y nếu x y và x y. Khi đó ta viết x y là quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X nói trong Định lí b . I . Quan hệ thứ tự toàn phần và quan hệ thứ tự bộ phận. ----- Formatted Heading04 Quan hệ thứ tự trên tập hợp X gọi là toàn phần nếu với hai phần tử bất kì x y của X ta có x y hoặc y x. Trong lược đồ hình tên của quan hệ thứ tự toàn phần trên tập hợp X các phần tử của X đôi một được nối với nhau bởi ít nhất một mũi tên. Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử x y của X sao cho cả hai điều kiện x y và y x đều không xảy ra thì gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Ví dụ Quan hệ thứ tự theo nghĩa thông thường trên tập hợp R là toàn phần. Quan hệ chia hết trên tập hợp N là quan hệ thứ tự bộ phận vì chẳng hạn số nguyên 3 và 7 là không so sánh được . Ta không có 3 7 cũng không có 7 3 Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp X được gọi là toàn phần nếu với hai phần tử khác nhau bất kì x y của X ta có x y hoặc y x. Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau x y của X sao cho cả hai điều kiện